Задача 1
Условие (кратко)
Докажите методом от противного, что если для трёх точек A, B, C верно AB = AC + CB, то точки A, B и C лежат на одной прямой.
Решение
Дано: \(AB = AC + CB\). Доказать: \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой.
Предположим противное: точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой. Тогда они — вершины треугольника \(ABC\).
По неравенству треугольника каждая сторона меньше суммы двух других: \(AB < AC + CB\).
Это противоречит условию \(AB = AC + CB\). Значит, предположение неверно, и точки лежат на одной прямой.
Ответ
Утверждение доказано, иначе по неравенству треугольника было бы AB < AC + CB
Почему так
Для трёх точек, не лежащих на одной прямой, строгое неравенство треугольника исключает равенство AB = AC + CB.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».