Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Решение
Дано: \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника. Доказать: \(a > b - c\) (и так для любой стороны и любой пары).
По неравенству треугольника \(b < a + c\).
Перенесём \(c\) в левую часть: \(b - c < a\), то есть \(a > b - c\).
Так же \(a > c - b\) следует из \(c < a + b\). Значит, \(a\) больше разности двух других сторон, в каком бы порядке её ни брать; для сторон \(b\) и \(c\) рассуждение то же.
Ответ
Утверждение доказано, это следствие неравенства треугольника
Почему так
Неравенство треугольника b < a + c после переноса c в другую часть даёт a > b − c.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».