Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 316

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$CH$$ — высота. Доказать: углы треугольников $$ABC$$ , $$ACH$$ , $$CBH$$ соответственно равны.

Углы $\triangle ABC$ : $\angle A$ , $\angle B$ и $90^\circ$ , причём $\angle A + \angle B = 90^\circ$ (сумма острых углов прямоугольного треугольника).
$\triangle ACH$ : $\angle AHC = 90^\circ$ , угол $$A$$ общий с $\triangle ABC$ , а $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = \angle B$ .
$\triangle CBH$ : $\angle CHB = 90^\circ$ , угол $$B$$ общий, а $\angle BCH = 90^\circ - \angle B = \angle A$ .

У всех трёх треугольников углы равны $\angle A$ , $\angle B$ и $90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано, у всех трёх треугольников углы ∠A, ∠B и 90°

Почему так

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому каждый новый треугольник получает угол, дополняющий общий угол до 90°.

Подробнее — в теме «Свойства и признаки прямоугольных треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).