Какие утверждения верны?

Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°

Любая медиана прямоугольного треугольника равна половине стороны, к которой проведена

В треугольнике два угла равны 48^\circ и 42^\circ. Какой это треугольник?

Определить нельзя

Свойства прямоугольного треугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сумма углов треугольника

Коротко о главном

В прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90°, катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, а медиана, проведённая к гипотенузе, тоже равна половине гипотенузы. Каждое из этих свойств можно «развернуть» — получатся признаки, по которым узнают прямоугольный треугольник или угол в 30°.

\angle A + \angle B = 90^\circ, \qquad a_{30^\circ} = \frac{c}{2}, \qquad m_c = \frac{c}{2}

Подробное объяснение

Возьми чертёжный треугольник с углами 30°, 60° и 90° и приложи линейку к самой длинной стороне. Окажется, что короткий катет ровно вдвое меньше. Это не совпадение, а одно из свойств прямоугольного треугольника. Разберёмся по порядку.

Напомним названия. Стороны, образующие прямой угол, — катеты, сторона против прямого угла — гипотенуза. Гипотенуза — самая длинная сторона, потому что лежит против самого большого угла.

Свойство 1. Сумма острых углов

Сумма углов любого треугольника — 180°. Прямой угол забирает 90°, на два острых остаётся 90°. Поэтому, зная один острый угол, второй находят вычитанием: $90^\circ - \alpha$ .

Обратно (признак): если в треугольнике сумма каких-то двух углов равна 90°, третий угол прямой — треугольник прямоугольный.

Свойство 2. Катет против угла в 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, ∠B = 30°, ∠A = 60°. Пунктиром достроен равный треугольник до равностороннего ABD, поэтому катет AC равен половине гипотенузы AB. — Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Почему. Пусть $\angle C = 90^\circ$ , $\angle B = 30^\circ$ , тогда $\angle A = 60^\circ$ . Отразим треугольник относительно катета $$BC$$ — получим точку $$D$$ на продолжении $$AC$$ . Треугольник $$ABD$$ имеет углы по 60°, то есть он равносторонний: $$AD = AB$$ . А $$AC$$ — половина $$AD$$ . Значит, $AC = \dfrac{AB}{2}$ .

Обратно: если катет равен половине гипотенузы, то угол против него равен 30°. Доказывается тем же приёмом: после отражения получается треугольник с тремя равными сторонами, у него все углы по 60°, а нужный угол — половина одного из них.

Свойство 3. Медиана к гипотенузе

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Другими словами, середина гипотенузы находится на одном расстоянии от всех трёх вершин: $$MA = MB = MC$$ .

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и медиана CM к гипотенузе AB. Отрезки MA, MB и MC отмечены равными, пунктиром — полуокружность с центром M через A, C и B. — Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине — середина гипотенузы равноудалена от всех вершин.

Почему. Проведём из вершины прямого угла $$C$$ луч, образующий со стороной $$CA$$ такой же угол, как угол $$A$$ . Он пересечёт гипотенузу в точке $$M$$ , и треугольник $$AMC$$ будет равнобедренным: $$MA = MC$$ . Оставшаяся часть прямого угла при $$C$$ равна углу $$B$$ (оба дополняют равные углы до 90°), поэтому и $$MB = MC$$ . Значит, $$MA = MB$$ , точка $$M$$ — середина гипотенузы, а $CM = \dfrac{AB}{2}$ .

Обратно (признак): если медиана треугольника равна половине стороны, к которой проведена, то треугольник прямоугольный, а прямой угол — при вершине, из которой проведена медиана. Отсюда, например, следует: треугольник, вписанный в окружность так, что одна сторона — диаметр, прямоугольный.

Как решать задачи

Найди прямой угол и подпиши, где катеты, а где гипотенуза.
Если известен острый угол — сразу найди второй: $90^\circ$ минус известный.
Увидел угол 30° — найди катет против него: он равен половине гипотенузы. Угол 60° — значит, второй острый угол 30°.
Есть медиана к гипотенузе — запиши $$CM = AM = MB$$ и ищи равнобедренные треугольники.
Если прямой угол не дан, проверь признаки: сумма двух углов 90°? медиана равна половине стороны?

Разобранные примеры

База

Гипотенуза по катету и углу

Условие

В треугольнике $$MNK$$ $\angle N = 90^\circ$ , $\angle K = 60^\circ$ , катет $$NK = 3{,}2$$ см. Найдите гипотенузу $$MK$$ .

Дано

$\angle N = 90^\circ$
$\angle K = 60^\circ$
$$NK = 3{,}2$$ см

Найти

$$MK$$

Решение

Второй острый угол: $\angle M = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ . Против угла $$M$$ лежит катет $$NK$$ , значит, он равен половине гипотенузы: $MK = 2 \cdot NK = 6{,}4$ см.

Ответ: MK = 6,4 см

Средний

Разность гипотенузы и катета

Условие

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 8 см. Найдите гипотенузу.

Дано

острый угол $30^\circ$
гипотенуза $$c$$
меньший катет $$a$$
$$c - a = 8$$ см

Найти

$$c$$

Решение

Против меньшего угла (30°) лежит меньший катет, поэтому $a = \dfrac{c}{2}$ . Тогда $c - \dfrac{c}{2} = \dfrac{c}{2} = 8$ , и $$c = 16$$ см.

Ответ: 16 см

Сложный

Медиана и угол

Условие

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена медиана $$CM$$ . Угол $$A$$ равен 25°. Найдите угол $$BMC$$ .

Дано

$\angle C = 90^\circ$
$$AM = MB$$
$\angle A = 25^\circ$

Найти

$\angle BMC$

Решение

Медиана к гипотенузе равна её половине: $$CM = AM$$ . Треугольник $$AMC$$ равнобедренный, $\angle ACM = \angle A = 25^\circ$ . Угол $$BMC$$ — внешний угол этого треугольника при вершине $$M$$ , он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$ .

Ответ: ∠BMC = 50°

Типичные ошибки

Берут катет, прилежащий к углу 30°

Почему неверно

Половине гипотенузы равен только катет, лежащий против угла 30°. Катет, прилежащий к этому углу, длиннее — он лежит против угла 60°.

Как правильно

Отметь на рисунке угол 30° и проведи взглядом «через треугольник» на противоположную сторону. Это и есть нужный катет. Если дан угол 60°, сначала найди второй острый угол.

Считают, что любая медиана равна половине стороны

Почему неверно

Свойство верно только для медианы, проведённой к гипотенузе. Медиана к катету всегда длиннее половины катета: она — гипотенуза маленького прямоугольного треугольника, а половина катета в нём — катет.

Как правильно

Перед тем как писать $m = \dfrac{c}{2}$ , убедись, что медиана выходит из вершины прямого угла.

Путают свойство и признак

Почему неверно

Свойство применяют, когда уже известно, что треугольник прямоугольный. Чтобы доказать, что угол прямой, нужен признак — обратное утверждение.

Как правильно

В доказательстве пиши явно: «по признаку прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны)» или «так как сумма углов $$A$$ и $$B$$ равна 90°».

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Один острый угол прямоугольного треугольника равен $37^\circ$ . Найдите второй острый угол.

Подсказка

Сколько в сумме дают острые углы прямоугольного треугольника?

Решение

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ , поэтому второй угол равен $90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$ .

Ответ

53°

База Задача 2

В прямоугольном треугольнике $$KLM$$ угол $$M$$ прямой, $\angle K = 30^\circ$ , гипотенуза $$KL = 14$$ см. Найдите катет $$LM$$ .

Подсказка

Какой угол лежит против катета $$LM$$ ?

Решение

Катет $$LM$$ лежит против угла $$K$$ , равного $30^\circ$ , поэтому он равен половине гипотенузы, $$LM = 14 / 2 = 7$$ см.

Ответ

7 см

Средний Задача 3

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 22 см. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

Решение

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, $$22 / 2 = 11$$ см.

Ответ

11 см

Средний Задача 4

В треугольнике $$ABC$$ $\angle C = 90^\circ$ , $\angle A = 60^\circ$ , катет $$AC = 4{,}5$$ см. Найдите гипотенузу $$AB$$ .

Подсказка

Найдите угол $$B$$ и посмотрите, какой катет лежит против него.

Решение

$\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ . Против угла $$B$$ лежит катет $$AC$$ , он равен половине гипотенузы, поэтому $AB = 2 \cdot 4{,}5 = 9$ см.

Ответ

9 см

Сложный Задача 5

В треугольнике $$ABC$$ медиана $$BM$$ равна 6 см, а сторона $$AC$$ равна 12 см, $\angle A = 30^\circ$ . Найдите сторону $$BC$$ и угол $$C$$ .

Подсказка

Сравните медиану с половиной стороны, к которой она проведена.

Решение

Медиана $BM = 6 = \dfrac{AC}{2}$ , поэтому треугольник прямоугольный, $\angle B = 90^\circ$ , а $$AC$$ — гипотенуза. Катет $$BC$$ лежит против угла $$A$$ в $30^\circ$ , значит, $$BC = 12 / 2 = 6$$ см. $\angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ .

Ответ

BC = 6 см, ∠C = 60°

Сложный Задача 6

В треугольнике $$PQR$$ $\angle P = 35^\circ$ , $\angle Q = 55^\circ$ . Медиана $$RS$$ равна 8 см. Найдите сторону $$PQ$$ .

Подсказка

Найдите угол $$R$$ .

Решение

$\angle R = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$ (по признаку — сумма двух углов $90^\circ$ ). Значит, $$PQ$$ — гипотенуза, а медиана к ней равна её половине, $PQ = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ

16 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите чертёжный треугольник 30°–60°–90° и линейку: пусть ребёнок измерит короткий катет и гипотенузу — получится ровно в 2 раза. Затем положите на стол прямоугольный лист бумаги: середина диагонали одинаково удалена от всех четырёх углов, а значит, и от трёх вершин прямоугольного треугольника — это свойство медианы. Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равен второй острый угол, если первый 70°? 2) Какой катет равен половине гипотенузы — против 30° или против 60°? 3) Как по медиане узнать, что треугольник прямоугольный? На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно находить катет против данного угла и не применять свойство медианы к медианам, проведённым к катетам.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 35	259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 268, 269, 270, 276, 277, 278