Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 318

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC (AB > AC) проведены высота AH и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов B и C.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB > AC$$ , $$AH$$ — высота, $$AD$$ — биссектриса. Доказать: $\angle HAD = \dfrac{\angle C - \angle B}{2}$ .

Против большей стороны лежит больший угол: $$AB > AC$$ , значит, $\angle C > \angle B$ . Поэтому $\angle B$ острый, и точка $$H$$ лежит на луче $$BC$$ ; точка $$D$$ — на отрезке $$BC$$ . Лучи $$AH$$ и $$AD$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$ .
В прямоугольном $\triangle ABH$ : $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$ .
$\angle BAD = \dfrac{\angle A}{2} = \dfrac{180^\circ - \angle B - \angle C}{2} = 90^\circ - \dfrac{\angle B + \angle C}{2}$ .
$\angle BAH - \angle BAD = \dfrac{\angle B + \angle C}{2} - \angle B = \dfrac{\angle C - \angle B}{2} > 0$ . Значит, луч $$AD$$ лежит между $$AB$$ и $$AH$$ , и $\angle HAD = \angle BAH - \angle BAD = \dfrac{\angle C - \angle B}{2}$ .

Ответ

Утверждение доказано, ∠HAD = (∠C − ∠B)/2

Почему так

Угол между высотой и биссектрисой — разность углов BAH = 90° − ∠B и BAD = ∠A/2, выраженных через сумму углов треугольника.

Подробнее — в теме «Сумма углов треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).