Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 319

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Решение

Дано: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ , $$AH$$ и $$A_1H_1$$ — высоты к равным сторонам $$BC$$ и $$B_1C_1$$ . Доказать: $$AH = A_1H_1$$ .

Из равенства треугольников $$AB = A_1B_1$$ и $\angle B = \angle B_1$ .
Если $\angle B$ прямой, то $$H = B$$ , $$H_1 = B_1$$ и $$AH = AB = A_1B_1 = A_1H_1$$ .
Если $\angle B$ острый, прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$ равны по гипотенузе ( $$AB = A_1B_1$$ ) и острому углу ( $\angle B = \angle B_1$ ). Если $\angle B$ тупой, то $$H$$ лежит на продолжении $$CB$$ за $$B$$ , и острый угол $ABH = 180^\circ - \angle B$ — те же рассуждения с равными смежными углами.
Из равенства прямоугольных треугольников $$AH = A_1H_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, треугольники ABH и A₁B₁H₁ равны по гипотенузе и острому углу

Почему так

Высота отсекает прямоугольный треугольник с гипотенузой — стороной треугольника — и острым углом, равными у обоих треугольников.

Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).