Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы доказать равенство двух прямоугольных треугольников, достаточно двух пар равных элементов: прямой угол уже есть «бесплатно». Треугольники равны по двум катетам, по катету и прилежащему острому углу, по гипотенузе и острому углу или по гипотенузе и катету.
Подробное объяснение
Для обычных треугольников нужны три пары равных элементов. У прямоугольных одна пара — прямые углы — известна заранее: любые два прямых угла равны. Поэтому хватает ещё двух пар.
Два катета
Прямой угол лежит между катетами. Если катеты одного треугольника равны катетам другого, то равны две стороны и угол между ними — работает первый признак равенства треугольников.
Катет и прилежащий острый угол
Катет прилежит к прямому углу и к одному из острых. Если катет и прилежащий к нему острый угол равны, то равны сторона и оба угла при её концах — это второй признак.
Гипотенуза и острый угол
Острые углы в сумме дают 90°. Если один острый угол у треугольников одинаковый, то и вторые острые углы равны: \(90^\circ\) минус одно и то же число. Тогда гипотенуза и два угла при её концах равны — снова второй признак.
Гипотенуза и катет
Этот признак не сводится к общим: угол между гипотенузой и катетом не дан. Его доказывают наложением. Совместим прямые углы так, чтобы равные катеты легли друг на друга. Тогда вершины на концах этих катетов совпадут. Третья вершина обязана попасть на одну и ту же прямую. Если бы она попала в другую точку этой прямой, получился бы равнобедренный треугольник из двух равных гипотенуз, у которого один угол при основании острый, а другой тупой. Так не бывает, значит, треугольники совпадают полностью.
Полезное следствие
Из признака по гипотенузе и острому углу легко получить ещё один: по катету и противолежащему острому углу. Если противолежащие углы равны, то равны и прилежащие (дополнения до 90°), и работает признак по катету и прилежащему углу.
Как решать задачи
- Найди в задаче прямые углы: высоты, перпендикуляры, углы квадрата или прямоугольника.
- Выдели два прямоугольных треугольника, в которые входят данные отрезки и углы.
- Определи для каждого равного элемента: катет или гипотенуза? Угол прилежит к катету или лежит против него?
- Ищи «бесплатные» равенства: общая сторона, вертикальные углы, половины угла при биссектрисе.
- Назови признак и запиши равенство треугольников с соответствием вершин. Потом сделай вывод о нужной стороне или угле.
Разобранные примеры
Общая гипотенуза
В четырёхугольнике \(ABCD\) \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), \(AB = AD = 6\) см. Найдите \(CD\), если \(BC = 8\) см.
- \(\angle B = \angle D = 90^\circ\)
- \(AB = AD = 6\) см
- \(BC = 8\) см
- \(CD\)
Диагональ \(AC\) — общая гипотенуза прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(ADC\), катеты \(AB = AD\). По гипотенузе и катету \(\triangle ABC = \triangle ADC\), значит, \(CD = CB = 8\) см.
Высоты равнобедренного треугольника
В треугольнике \(KLM\) \(KL = LM\). Из вершин \(K\) и \(M\) к боковым сторонам проведены высоты \(KP\) и \(MQ\). Докажите, что \(LP = LQ\).
Дано: \(KL = LM\), \(KP \perp LM\), \(MQ \perp KL\). Доказать: \(LP = LQ\).
Прямоугольные треугольники \(KPL\) и \(MQL\) имеют равные гипотенузы \(KL = ML\) и общий острый угол \(L\). По гипотенузе и острому углу они равны, поэтому \(LP = LQ\).
Точка на биссектрисе
Из точки \(K\) на сторонах угла \(O\) опущены перпендикуляры \(KA\) и \(KB\), и \(KA = KB\). Докажите, что \(K\) лежит на биссектрисе угла \(O\).
Дано: \(KA \perp OA\), \(KB \perp OB\), \(KA = KB\). Доказать: \(\angle AOK = \angle BOK\).
Прямоугольные треугольники \(OAK\) и \(OBK\) имеют общую гипотенузу \(OK\) и равные катеты \(KA = KB\). По гипотенузе и катету они равны, значит, \(\angle AOK = \angle BOK\), и луч \(OK\) — биссектриса.
Типичные ошибки
Если у прямоугольных треугольников равны только углы, они могут быть разного размера: маленький и большой чертёжные треугольники 30°–60°–90° не равны.
Кроме угла нужна хотя бы одна равная сторона — катет или гипотенуза.
Признаки «по гипотенузе и катету» и «по двум катетам» разные. Если сторона, которую назвали катетом, на самом деле лежит против прямого угла, признак применён неверно.
Сначала отметь прямой угол. Гипотенуза — сторона напротив него, остальные две — катеты.
В признаке «по катету и прилежащему острому углу» угол должен примыкать к равному катету. Если у одного треугольника угол прилежит к катету, а у другого лежит против него, признак не работает.
Сравни: у обоих треугольников угол прилежит к равному катету или у обоих лежит против него. Во втором случае используй следствие «по катету и противолежащему углу».
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
У прямоугольных треугольников равны гипотенузы и по одному катету. Равны ли треугольники?
Показать ответ
Ответ: А) Да, по гипотенузе и катету
Это отдельный признак равенства прямоугольных треугольников — по гипотенузе и катету.
-
Какие наборы равных элементов гарантируют равенство двух прямоугольных треугольников?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Два катета; Б) Гипотенуза и острый угол; Г) Катет и противолежащий ему острый угол
Равных острых углов мало — треугольники могут быть разного размера. Признак по катету и противолежащему углу сводится к признаку по катету и прилежащему углу.
-
Из какого общего признака равенства треугольников сразу следует признак по двум катетам?
Показать ответ
Ответ: А) Из первого — по двум сторонам и углу между ними
Прямой угол лежит между катетами, а все прямые углы равны — получается первый признак.
-
Прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(KLM\) (\(\angle C = \angle M = 90^\circ\)) равны по гипотенузе и катету, \(AB = KL\), \(AC = KM\). Угол \(B\) равен \(33^\circ\). Сколько градусов в угле \(K\)?
Показать ответ
Ответ: 57
Из равенства \(\angle L = \angle B = 33^\circ\), тогда \(\angle K = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ\).
-
Какой признак доказывают методом наложения, а не сведением к общим признакам?
Показать ответ
Ответ: А) По гипотенузе и катету
Для гипотенузы и катета нет подходящего общего признака (угол между ними не дан), поэтому треугольники накладывают друг на друга.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
У прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(DEF\) (\(\angle C = \angle F = 90^\circ\)) \(AC = DF = 5\) см, \(BC = EF = 12\) см, \(AB = 13\) см. Найдите \(DE\).
Подсказка
Какие элементы равны — катеты или гипотенузы?
Решение
Катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, поэтому \(\triangle ABC = \triangle DEF\). Гипотенузе \(AB\) соответствует гипотенуза \(DE\), значит, \(DE = 13\) см.
Ответ
У двух прямоугольных треугольников равны гипотенузы и по одному острому углу. Острый угол первого треугольника равен \(40^\circ\). Найдите второй острый угол второго треугольника.
Решение
Треугольники равны по гипотенузе и острому углу, значит, острые углы второго — тоже \(40^\circ\) и \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
Ответ
Из точки \(M\), лежащей на биссектрисе угла \(O\), опущены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) на стороны угла. Найдите \(MB\), если \(MA = 3{,}5\) см.
Подсказка
Сравните треугольники \(OAM\) и \(OBM\).
Решение
Прямоугольные треугольники \(OAM\) и \(OBM\) имеют общую гипотенузу \(OM\) и равные острые углы \(\angle AOM = \angle BOM\). По гипотенузе и острому углу они равны, поэтому \(MB = MA = 3{,}5\) см.
Ответ
В треугольнике \(ABC\) высота \(BH\) делит сторону \(AC\) пополам, \(AB = 9\) см, \(AC = 10\) см. Найдите периметр треугольника \(ABC\).
Подсказка
Какие два прямоугольных треугольника образует высота?
Решение
Треугольники \(ABH\) и \(CBH\) прямоугольные, катет \(BH\) общий, катеты \(AH = CH\). По двум катетам они равны, поэтому \(BC = AB = 9\) см. Периметр \(9 + 9 + 10 = 28\) см.
Ответ
В треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), а высоты \(BH\) и \(B_1H_1\) равны. Углы \(A\) и \(A_1\) острые. Докажите, что треугольники равны.
Подсказка
Сначала сравните прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\).
Решение
В прямоугольных треугольниках \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\) гипотенузы \(AB = A_1B_1\) и катеты \(BH = B_1H_1\). По гипотенузе и катету они равны, поэтому \(\angle BAH = \angle B_1A_1H_1\). Углы \(A\) и \(A_1\) острые, поэтому точки \(H\) и \(H_1\) лежат на лучах \(AC\) и \(A_1C_1\), и \(\angle A = \angle A_1\). Теперь \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\) и угол между ними равен — по первому признаку \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), \(AC \perp CD\), \(BD \perp CD\), \(AO = OB\). Докажите, что \(AC = BD\), и найдите \(CD\), если \(OC = 4\) см.
Подсказка
Найдите пару вертикальных углов.
Решение
Треугольники \(ACO\) и \(BDO\) прямоугольные (прямые углы при \(C\) и \(D\)), гипотенузы \(AO = BO\), острые углы \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные. По гипотенузе и острому углу они равны, поэтому \(AC = BD\) и \(OD = OC = 4\) см. Точка \(O\) лежит на отрезке \(CD\), значит, \(CD = 4 + 4 = 8\) см.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарежьте из бумаги несколько прямоугольных треугольников. Покажите: если совпадают два катета — треугольники накладываются друг на друга; если совпадают гипотенуза и катет — тоже. А два треугольника 30°–60°–90° разного размера не совпадают, хотя углы одинаковые. Вопросы для проверки понимания: 1) Почему для прямоугольных треугольников хватает двух пар равных элементов? 2) Назови четыре признака равенства прямоугольных треугольников. 3) Равны ли прямоугольные треугольники, у которых равны оба острых угла? На что обратить внимание. Ребёнок должен в каждой задаче чётко называть, какие стороны — катеты, а какая — гипотенуза, и проверять, прилежит ли угол к равному катету.