Задача 1
Условие (кратко)
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AR. Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периметра треугольника ABC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) остроугольный, \(AR\) — высота. Доказать: \(P_{ARC} < P_{ABC}\).
-
Треугольник остроугольный, поэтому основание высоты \(R\) лежит на стороне \(BC\) между \(B\) и \(C\): \(BC = BR + RC\).
-
\(P_{ABC} = AB + BR + RC + AC\), \(P_{ARC} = AR + RC + AC\).
-
По неравенству треугольника для \(\triangle ABR\): \(AR < AB + BR\).
-
Прибавим к обеим частям \(RC + AC\): \(AR + RC + AC < AB + BR + RC + AC\), то есть \(P_{ARC} < P_{ABC}\).
Ответ
Утверждение доказано, AR < AB + BR, а остальные слагаемые периметров общие
Почему так
Периметры отличаются слагаемыми AR и AB + BR, а их сравнивает неравенство треугольника ABR.
Подробнее — в теме «Неравенство треугольника».