Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 321

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , точка $$M$$ лежит на стороне $$BC$$ , $M \ne B$ , $M \ne C$ . Доказать: $$AM$$ меньше большей из сторон $$AB$$ , $$AC$$ .

Углы $$AMB$$ и $$AMC$$ смежные, их сумма $180^\circ$ , поэтому хотя бы один из них не меньше $90^\circ$ . Пусть это $\angle AMC$ (иначе рассуждение то же с $\angle AMB$ и стороной $$AB$$ ).
В $\triangle AMC$ угол $$M$$ не меньше $90^\circ$ , значит, два других угла острые и $\angle C < \angle AMC$ .
Против большего угла лежит большая сторона: $$AC > AM$$ .
$$AM < AC$$ , а $$AC$$ не больше большей из сторон $$AB$$ , $$AC$$ . Значит, $$AM$$ меньше большей из этих сторон.

Ответ

Утверждение доказано, против неострого угла при M лежит сторона, большая AM

Почему так

Один из смежных углов при точке M неострый, а против него в треугольнике лежит наибольшая сторона.

Подробнее — в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).