Что лежит в треугольнике против большей стороны?

Угол, равный половине другого

В треугольнике ABC угол A прямой. Какие утверждения обязательно верны?

BC — наибольшая сторона

Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 8 см. Против какой стороны лежит наибольший угол?

Против стороны 8 см

Против стороны 4 см

Против стороны 6 см

Это зависит от рисунка

В треугольнике ABC угол B тупой. Какая сторона наибольшая?

Определить нельзя

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сумма углов треугольника

Коротко о главном

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Отсюда: гипотенуза больше катета, а если два угла треугольника равны, он равнобедренный.

AB > AC \;\Leftrightarrow\; \angle C > \angle B

Подробное объяснение

Раздвиньте ножки циркуля. Чем шире угол между ними, тем больше расстояние между остриями. В треугольнике то же самое: чем больше угол, тем длиннее сторона, которая его «закрывает», — сторона напротив.

Противолежащие стороны и углы

У каждого угла треугольника есть сторона, которая его не касается, — противолежащая. В треугольнике $$ABC$$ против угла $$A$$ лежит сторона $$BC$$ , против $\angle B$ — $$AC$$ , против $\angle C$ — $$AB$$ . Удобно запомнить: буква угла и буквы стороны вместе дают все три вершины.

Треугольник ABC. Самая длинная сторона AB выделена зелёным, и зелёным же отмечен самый большой угол C напротив неё. Самая короткая сторона AC и самый маленький угол B напротив неё выделены оранжевым. — Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, наименьшая — против наименьшего.

Теорема

Против большей стороны лежит больший угол.
Обратно: против большего угла лежит большая сторона.

Почему верно первое. Пусть $$AB > AC$$ . Отложим на стороне $$AB$$ отрезок $$AD = AC$$ . Точка $$D$$ лежит внутри стороны $$AB$$ , поэтому угол $$ACD$$ — часть угла $$C$$ и меньше его. Треугольник $$ADC$$ равнобедренный, значит, $\angle ACD = \angle ADC$ . А угол $$ADC$$ — внешний угол треугольника $$BDC$$ , поэтому он больше угла $$B$$ . Получили цепочку $\angle C > \angle ACD = \angle ADC > \angle B$ .

Почему верно второе. Пусть $\angle C > \angle B$ . Если бы $$AB = AC$$ , углы $$B$$ и $$C$$ были бы равны. Если бы $$AB < AC$$ , по первой части $\angle B$ был бы больше $\angle C$ . Оба варианта противоречат условию, остаётся $$AB > AC$$ . Это рассуждение «от противного».

Два следствия

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Гипотенуза лежит против прямого угла, катет — против острого, а прямой угол больше острого.
Признак равнобедренного треугольника. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. Если бы одна из них была больше, то и угол против неё был бы больше.

Важно: теорема сравнивает, но не измеряет. Если угол больше в 2 раза, сторона против него больше, но вовсе не обязательно в 2 раза.

Как решать задачи

Выпишите пары «угол — противолежащая сторона».
Если известны два угла, найдите третий по сумме углов треугольника.
Расставьте углы по величине — в том же порядке встанут и противолежащие стороны (и наоборот).
Равные углы — значит, равные стороны против них, треугольник равнобедренный.
В доказательствах ищите тупой угол или внешний угол: тупой угол всегда наибольший в треугольнике.

Разобранные примеры

База

Порядок углов по сторонам

Условие

В треугольнике $$MNP$$ стороны $$MN = 8$$ см, $$NP = 11$$ см, $$MP = 6$$ см. Расположите углы треугольника в порядке убывания.

Дано

$$MN = 8$$ см
$$NP = 11$$ см
$$MP = 6$$ см

Найти

порядок углов

Решение

Против $$NP$$ лежит $\angle M$ , против $$MN$$ — $\angle P$ , против $$MP$$ — $\angle N$ . Стороны: $$NP > MN > MP$$ , поэтому $\angle M > \angle P > \angle N$ .

Ответ: ∠M > ∠P > ∠N

Средний

Равнобедренный по углам

Условие

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $35^\circ$ , внешний угол при вершине $$C$$ равен $145^\circ$ , $$AB = 9$$ см. Найдите $$BC$$ .

Дано

$\angle A = 35^\circ$
внешний угол при $$C$$ равен $145^\circ$
$$AB = 9$$ см

Найти

$$BC$$

Решение

Угол $$C$$ смежный с внешним: $\angle C = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ$ . Углы $$A$$ и $$C$$ равны, значит, равны противолежащие стороны: против $\angle A$ лежит $$BC$$ , против $\angle C$ — $$AB$$ . Поэтому $$BC = AB = 9$$ см.

Ответ: BC = 9 см

Сложный

Сравнение отрезков через тупой угол

Условие

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$D$$ так, что $$BD = BC$$ . Докажите, что $$AB > BD$$ .

Решение

Дано: $$D$$ лежит на $$AC$$ , $$BD = BC$$ . Доказать: $$AB > BD$$ .

Треугольник $$BDC$$ равнобедренный с основанием $$DC$$ , угол $$BDC$$ — угол при основании, поэтому он острый. Смежный с ним угол $$ADB$$ тупой. В треугольнике $$ABD$$ тупой угол $$D$$ наибольший, против него лежит сторона $$AB$$ . Значит, $$AB > BD$$ .

Ответ: Утверждение доказано, AB > BD

Типичные ошибки

Сопоставляют сторону с прилежащим углом

Почему неверно

Теорема говорит о стороне и угле, которые лежат друг против друга. Угол $$A$$ касается сторон $$AB$$ и $$AC$$ , но с ними теорема его не сравнивает.

Как правильно

Ищите сторону, в обозначении которой нет буквы угла: против $\angle A$ — сторона $$BC$$ .

Считают, что сторона пропорциональна углу

Почему неверно

Из « $\angle A = 2\angle B$ » не следует « $$BC = 2AC$$ ». Теорема только сравнивает: больше, меньше или равно. Например, в треугольнике с углами $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ гипотенуза больше катета не в 2 раза.

Как правильно

Делайте вывод только о порядке: « $\angle A > \angle B$ , значит, $$BC > AC$$ ». Точные длины по углам в 7 классе не находят.

Доказывают равнобедренность только через равные стороны

Почему неверно

Многие пытаются найти равные треугольники, хотя в задаче уже получены два равных угла. Этого достаточно.

Как правильно

Если углы $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ равны, сразу пишите: «по признаку равнобедренного треугольника $$AB = BC$$ ».

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB = 5$$ см, $$BC = 7$$ см, $$AC = 9$$ см. Какой угол треугольника наибольший, а какой наименьший?

Подсказка

Смотрите, какой угол лежит напротив каждой стороны.

Решение

Наибольшая сторона $$AC$$ лежит против угла $$B$$ , наименьшая сторона $$AB$$ — против угла $$C$$ . Против большей стороны лежит больший угол, поэтому наибольший угол — $\angle B$ , наименьший — $\angle C$ .

Ответ

Наибольший ∠B, наименьший ∠C

База Задача 2

В треугольнике $$KLM$$ угол $$K$$ равен $50^\circ$ , угол $$L$$ равен $70^\circ$ . Какая сторона треугольника наибольшая?

Подсказка

Сначала найдите третий угол.

Решение

$\angle M = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$ . Наибольший угол — $\angle L = 70^\circ$ , против него лежит сторона $$KM$$ . Против большего угла лежит большая сторона, значит, наибольшая сторона — $$KM$$ .

Ответ

KM

Средний Задача 3

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $40^\circ$ , угол $$B$$ равен $70^\circ$ . Найдите угол $$C$$ и укажите равные стороны треугольника.

Подсказка

Если два угла треугольника равны, то равны и стороны, лежащие против них.

Решение

$\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ$ . Углы $$B$$ и $$C$$ равны, поэтому равны и противолежащие им стороны — $$AC = AB$$ . Треугольник равнобедренный с основанием $$BC$$ .

Ответ

∠C = 70°, AB = AC

Средний Задача 4

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $30^\circ$ , угол $$B$$ равен $80^\circ$ . Расположите стороны треугольника в порядке возрастания.

Подсказка

Найдите угол $$C$$ и сопоставьте каждой стороне противолежащий угол.

Решение

$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ$ . Против $\angle A = 30^\circ$ лежит $$BC$$ , против $\angle C = 70^\circ$ — $$AB$$ , против $\angle B = 80^\circ$ — $$AC$$ . Так как $30^\circ < 70^\circ < 80^\circ$ , то $$BC < AB < AC$$ .

Ответ

BC < AB < AC

Сложный Задача 5

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см, угол при вершине — $100^\circ$ . Может ли основание быть равным 5 см?

Подсказка

Сравните угол при вершине с углами при основании.

Решение

Углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ$ . Угол при вершине, $100^\circ$ , больше каждого из них, а против него лежит основание. Значит, основание больше боковой стороны, то есть больше 6 см, и равняться 5 см не может.

Ответ

Нет, основание больше 6 см

Сложный Задача 6

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ тупой, точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$ и не совпадает с её концами. Докажите, что $$AD < AB$$ .

Подсказка

Угол $$ADB$$ — внешний угол треугольника $$ADC$$ .

Решение

Угол $$ADB$$ — внешний угол треугольника $$ADC$$ , поэтому $\angle ADB > \angle C > 90^\circ$ . Значит, в треугольнике $$ABD$$ угол $$D$$ тупой и является наибольшим. Против него лежит сторона $$AB$$ , поэтому $$AB > AD$$ .

Ответ

Утверждение доказано — AD < AB

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две линейки или две карандаша одинаковой длины, соедините их концы как ножки циркуля и раздвигайте. Пусть ребёнок замечает, как растёт расстояние между свободными концами — это третья сторона треугольника. Шире угол — длиннее сторона напротив. Затем нарисуйте любой треугольник, попросите угадать самый большой угол только по длинам сторон и проверить транспортиром.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какая сторона лежит против угла $$B$$ в треугольнике $$ABC$$ ? 2) Почему гипотенуза длиннее катета? 3) Что можно сказать о треугольнике, у которого два угла равны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен безошибочно находить противолежащую сторону и не путать «больше» с «во столько же раз больше». В доказательствах важно назвать, какой угол больше и почему, а не просто «по теореме».

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 33	241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252