Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 322

Условие (кратко)

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне (повышенной трудности).

Решение

Даны отрезки $$c$$ , $$a$$ и $$m$$ . Построить $\triangle ABC$ с $$AB = c$$ , $$BC = a$$ и медианой $$BM = m$$ к стороне $$AC$$ .

Анализ. Продлим медиану $$BM$$ за точку $$M$$ на $$MB_1 = BM$$ . $\triangle ABM = \triangle CB_1M$ по первому признаку ( $$AM = MC$$ , $$BM = MB_1$$ , вертикальные углы при $$M$$ ), поэтому $$CB_1 = AB = c$$ . В $\triangle BB_1C$ известны все стороны: $$BB_1 = 2m$$ , $$BC = a$$ , $$CB_1 = c$$ .

Построение.

Построим $\triangle BB_1C$ по трём сторонам $$2m$$ , $$a$$ , $$c$$ .
Разделим $$BB_1$$ пополам (серединный перпендикуляр) — получим точку $$M$$ .
Проведём луч $$CM$$ и отложим на нём за точкой $$M$$ отрезок $$MA = MC$$ .

$\triangle ABC$ искомый: $$BC = a$$ ; $$AB = CB_1 = c$$ из равенства треугольников $$ABM$$ и $$CB_1M$$ ; $$M$$ — середина $$AC$$ , $$BM = m$$ .

Задача имеет решение, если из отрезков $$2m$$ , $$a$$ , $$c$$ можно построить треугольник, то есть каждый из них меньше суммы двух других.

Ответ

Строим треугольник BB₁C со сторонами 2m, a, c, затем отражаем C относительно середины M отрезка BB₁

Почему так

Удвоение медианы сводит задачу к построению треугольника по трём сторонам.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задание 322

Задача 1