По каким трём элементам треугольник может НЕ определяться однозначно?

По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

По стороне и двум прилежащим к ней углам

Когда треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам существует?

Когда сумма данных углов меньше 180°

Когда оба угла острые

Сколько неравных треугольников можно построить по двум данным сторонам и углу между ними?

Бесконечно много

Построение треугольника по трём элементам

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Неравенство треугольника

Коротко о главном

Треугольник можно построить циркулем и линейкой по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. Первые две задачи решаются всегда (во второй — если сумма углов меньше 180°), третья — только если каждая сторона меньше суммы двух других.

a < b + c,\quad b < a + c,\quad c < a + b

Подробное объяснение

Представьте, что нужно вырезать из фанеры треугольник точно по чертежу, но вам продиктовали только три его размера. Каких трёх чисел достаточно, чтобы треугольник получился единственным? Ответ подсказывают признаки равенства треугольников: если по набору элементов треугольники равны, то по нему треугольник можно и построить.

Что значит «построить по трём элементам»

Даны отрезки и углы. Нужно циркулем и линейкой без делений построить треугольник, у которого соответствующие элементы равны данным. Решение задачи на построение состоит из частей:

построение — нумерованные шаги;
доказательство — почему получился нужный треугольник;
исследование — всегда ли есть решение и сколько их.

Если все подходящие треугольники равны друг другу, говорят, что задача имеет единственное решение.

По двум сторонам и углу между ними

Даны отрезки $$b$$ , $$c$$ и угол $\alpha$ .

Проводим прямую и откладываем на ней $$AB = c$$ .
Строим угол $$BAM$$ , равный $\alpha$ .
На луче $$AM$$ откладываем $$AC = b$$ и проводим $$BC$$ .

Решение всегда есть и единственно (первый признак равенства).

По стороне и двум прилежащим углам

Даны отрезок $$c$$ и углы $\alpha$ , $\beta$ .

Откладываем $$AB = c$$ .
От луча $$AB$$ строим угол $\alpha$ , от луча $$BA$$ в ту же сторону — угол $\beta$ .
Стороны углов пересекаются в точке $$C$$ .

Стороны пересекаются, только если $\alpha + \beta < 180^\circ$ . Тогда решение единственное (второй признак).

По трём сторонам

Даны отрезки $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ .

Откладываем $$AB = c$$ .
Проводим окружность с центром $$A$$ радиуса $$b$$ и окружность с центром $$B$$ радиуса $$a$$ .
Точка их пересечения — вершина $$C$$ .

Окружности пересекаются, только если каждый из отрезков меньше суммы двух других (неравенство треугольника). Две точки пересечения дают два равных треугольника, решение единственное (третий признак).

Когда решений может быть два

По двум сторонам и углу, который не лежит между ними, решений может быть 0, 1 или 2: окружность с центром в конце известной стороны может не задеть сторону угла, коснуться её или пересечь в двух точках. Поэтому такого признака равенства треугольников нет.

Помощь из темы о расстоянии

Если дана высота $$h$$ к стороне $$AB$$ , то вершина $$C$$ удалена от прямой $$AB$$ на $$h$$ , а значит, лежит на прямой, параллельной $$AB$$ на расстоянии $$h$$ . Строим эту прямую и ищем на ней вершину.

Как решать задачи

Нарисуйте от руки треугольник, будто он уже построен, и отметьте на нём данные элементы.
Найдите в нём треугольник, который строится по известным правилам (часто — часть искомого: с половиной стороны, медианой, высотой).
Запишите шаги построения по номерам.
Докажите, что все данные элементы получились нужными.
Исследуйте: при каких данных решение есть, сколько их.

Разобранные примеры

База

Три стороны: проверяем заранее

Условие

Можно ли построить треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 11 см? А со сторонами 4 см, 6 см и 9 см?

Решение

Проверяем, меньше ли наибольшая сторона суммы двух других.

$$4 + 6 = 10 < 11$$ — окружности радиусов 4 и 6 см с центрами в концах отрезка 11 см не пересекутся. Треугольника нет.
$$4 + 6 = 10 > 9$$ , остальные неравенства тоже верны ( $$4 + 9 > 6$$ , $$6 + 9 > 4$$ ). Треугольник строится: отрезок 9 см и две окружности.

Ответ: Со сторонами 4, 6, 11 см — нельзя; 4, 6, 9 см — можно.

Средний

Сторона и два угла

Условие

Даны отрезок 5 см и углы $100^\circ$ и $85^\circ$ . Можно ли построить треугольник, у которого к стороне 5 см прилежат эти углы? А если вместо $85^\circ$ взять $50^\circ$ ?

Решение

$100^\circ + 85^\circ = 185^\circ > 180^\circ$ . Стороны углов, построенных от концов отрезка в одну полуплоскость, расходятся и не пересекаются — треугольника нет.
$100^\circ + 50^\circ = 150^\circ < 180^\circ$ — стороны пересекаются, треугольник есть, и он единственный. Его третий угол $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

Ответ: С углами 100° и 85° — нельзя; с углами 100° и 50° — можно, третий угол 30°.

Сложный

Два решения

Условие

Постройте треугольник $$ABC$$ , у которого $\angle A = 30^\circ$ , $$AB = 5$$ см, $$BC = 4$$ см. Сколько решений имеет задача?

Решение

Строим угол $$XAY$$ , равный $30^\circ$ , и на луче $$AX$$ откладываем $$AB = 5$$ см.
Проводим окружность с центром $$B$$ радиуса 4 см. Её точки пересечения с лучом $$AY$$ — возможные вершины $$C$$ .
Расстояние от $$B$$ до прямой $$AY$$ — катет против угла $30^\circ$ : $$5 : 2 = 2{,}5$$ см. Радиус 4 см больше 2,5 см, поэтому окружность пересекает прямую $$AY$$ в двух точках $$C_1$$ и $$C_2$$ .
Радиус 4 см меньше $$AB = 5$$ см, поэтому обе точки лежат на самом луче $$AY$$ , а не за точкой $$A$$ .
Треугольники $$ABC_1$$ и $$ABC_2$$ подходят оба, но не равны: $AC_1 \ne AC_2$ .

Ответ: Два решения — два неравных треугольника.

Типичные ошибки

Не проверяют, существует ли треугольник

Почему неверно

Не из любых трёх отрезков получится треугольник, и не любые два угла можно приложить к одной стороне. Если чертить «на глаз», можно получить треугольник, которого на самом деле нет.

Как правильно

Перед построением проверьте неравенство треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других) или сумму углов (меньше $180^\circ$ ). В решении запишите это в исследовании.

Строят угол не между данными сторонами

Почему неверно

В задаче «по двум сторонам и углу между ними» угол обязан лежать между этими сторонами. Если отложить сторону на другой прямой, получится задача про угол, противолежащий стороне, — и совсем другой треугольник.

Как правильно

Обе данные стороны откладывайте на сторонах одного угла от его вершины.

Забывают второй треугольник

Почему неверно

В задачах, где вершину находят пересечением окружности с прямой или лучом, точек пересечения может быть две, и они дают неравные треугольники.

Как правильно

Отметьте все точки пересечения и для каждой проверьте, подходит ли она. Сравните получившиеся треугольники: равны — решение одно, не равны — два.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Треугольник строят по стороне 6 см и двум прилежащим к ней углам 40° и 70°. Можно ли его построить? Чему равен третий угол?

Подсказка

Сумма углов треугольника равна 180°.

Решение

Стороны прилежащих углов пересекутся, если сумма углов меньше $180^\circ$ : $40^\circ + 70^\circ = 110^\circ < 180^\circ$ — построить можно. Третий угол $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ .

Ответ

Можно; третий угол 70°

База Задача 2

Можно ли построить треугольник со сторонами 5 см, 8 см и 13 см?

Подсказка

Сравните большую сторону с суммой двух других.

Решение

Большая сторона 13 см, сумма двух других $$5 + 8 = 13$$ см. Нужно, чтобы большая сторона была строго меньше суммы, а здесь они равны. Окружности радиусов 5 и 8 см с центрами в концах отрезка 13 см лишь касаются в точке на самом отрезке — треугольника нет.

Ответ

Нельзя, так как 5 + 8 = 13 — неравенство треугольника не выполняется

Средний Задача 3

Две стороны треугольника равны 4 см и 9 см. Третья сторона выражается целым числом сантиметров. Какое наименьшее значение она может принимать?

Подсказка

Каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других.

Решение

Третья сторона $$x$$ должна удовлетворять условиям $$9 - 4 < x < 9 + 4$$ , то есть $$5 < x < 13$$ . Наименьшее целое значение — 6 см.

Ответ

6 см

Средний Задача 4

Нужно построить треугольник ABC, у которого BC = 10 см, CA = 6 см, а высота, проведённая из вершины A к стороне BC, равна 7 см. Сколько решений имеет задача?

Подсказка

Высота — перпендикуляр из A к прямой BC, а CA — наклонная из той же точки.

Решение

Высота $$AH$$ — перпендикуляр из $$A$$ к прямой $$BC$$ , а $$AC$$ — наклонная или тот же перпендикуляр. Перпендикуляр не длиннее наклонной, значит, должно быть $AH \le AC$ . Но $$7 > 6$$ , поэтому такого треугольника нет. Построение покажет то же: окружность с центром $$C$$ радиуса 6 см не достаёт до прямой, параллельной $$BC$$ на расстоянии 7 см.

Ответ

Решений нет — высота не может быть длиннее стороны CA

Сложный Задача 5

Строят треугольник ABC, у которого ∠A = 30°, AB = 12 см, а сторона BC задана. При каких длинах BC задача имеет два неравных решения?

Подсказка

Вершина C лежит на второй стороне угла A и на окружности с центром B. Найдите расстояние от B до этой стороны.

Решение

Строим угол $$A$$ в $30^\circ$ , на одной стороне откладываем $$AB = 12$$ см. Вершина $$C$$ — точка пересечения второго луча $$AY$$ с окружностью с центром $$B$$ радиуса $$BC$$ .
Расстояние от $$B$$ до прямой $$AY$$ — катет против угла $30^\circ$ : $\dfrac{12}{2} = 6$ см.
При $$BC < 6$$ см окружность не достаёт до прямой — решений нет; при $$BC = 6$$ см — одна точка, прямоугольный треугольник.
При $$6 < BC < 12$$ см окружность пересекает луч $$AY$$ в двух точках (обе на луче, так как радиус меньше $$AB$$ ) — два неравных треугольника.
При $BC \ge 12$ см одна из точек пересечения совпадает с $$A$$ или лежит на продолжении луча за $$A$$ — остаётся одно решение.

Ответ

При 6 см < BC < 12 см

Сложный Задача 6

Даны отрезки c и b, причём c > b. Постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой c и катетом b. Всегда ли это возможно?

Подсказка

Постройте прямой угол, отложите катет, а вершину на другой стороне угла найдите окружностью.

Решение

Строим прямой угол $$C$$ (перпендикуляр к прямой в точке $$C$$ ).
На одной его стороне откладываем $$CA = b$$ .
Окружность с центром $$A$$ радиуса $$c$$ пересекает другую сторону угла в точке $$B$$ : так как $$c > b$$ , а $$b$$ — расстояние от $$A$$ до этой стороны, точка пересечения есть, и на луче она одна.
Треугольник $$ABC$$ искомый: $\angle C = 90^\circ$ , $$CA = b$$ , $$AB = c$$ .

Если $c \le b$ , гипотенуза не длиннее катета — так не бывает, решения нет. При $$c > b$$ решение единственное.

Ответ

Треугольник построен; это возможно, только если гипотенуза длиннее катета, и тогда решение единственное

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите три палочки (или полоски бумаги) разной длины и попробуйте сложить из них треугольник. Затем замените одну палочку на очень длинную — длиннее двух других вместе: треугольник не замкнётся. Так становится понятно неравенство треугольника. После этого постройте вместе треугольник циркулем по трём сторонам: отрезок и две окружности.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие три набора элементов всегда задают треугольник однозначно? 2) Почему из отрезков 2, 3 и 6 см треугольник не построить? 3) Как найти вершину, если известна высота?

На что обратить внимание. Решение задачи на построение — это не только аккуратный чертёж: должны быть шаги, обоснование и вывод о числе решений. Спросите ребёнка: «А всегда ли так получится?» — это и есть исследование.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 38	294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303