Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Решение
Даны отрезок \(c\) (гипотенуза) и острый угол \(\alpha\). Построить прямоугольный \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = c\), \(\angle A = \alpha\).
Построим угол с вершиной \(A\), равный \(\alpha\).
На одной его стороне отложим циркулем \(AB = c\).
Из точки \(B\) опустим перпендикуляр на прямую, содержащую другую сторону угла; его основание — точка \(C\). Так как \(\alpha\) острый, \(C\) лежит на стороне угла.
В \(\triangle ABC\): \(\angle C = 90^\circ\), гипотенуза \(AB = c\), \(\angle A = \alpha\). Треугольник определяется однозначно (признак равенства по гипотенузе и острому углу).
Ответ
Откладываем гипотенузу на стороне данного угла и опускаем перпендикуляр на другую сторону
Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему углу.
Решение
Даны отрезок \(a\) (катет) и острый угол \(\alpha\), лежащий против него. Построить \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = a\), \(\angle A = \alpha\).
Построим угол с вершиной \(A\), равный \(\alpha\); одну сторону продолжим до прямой \(l\).
По задаче 292 построим прямую \(p\), параллельную \(l\), на расстоянии \(a\) от неё и по ту же сторону, что и вторая сторона угла.
Прямая \(p\) пересекает вторую сторону угла в точке \(B\).
Из \(B\) опустим перпендикуляр на прямую \(l\) — получим точку \(C\).
\(BC\) — расстояние между параллельными прямыми \(p\) и \(l\), поэтому \(BC = a\); \(\angle BCA = 90^\circ\), \(\angle A = \alpha\). Так как \(\alpha\) острый, точка \(C\) лежит на стороне угла.
Другой способ: второй острый угол равен \(90^\circ - \alpha\), и треугольник строится по катету и прилежащему острому углу.
Ответ
Строим данный угол и прямую, параллельную одной его стороне на расстоянии a; её точка на другой стороне — вершина B
Почему так
Вершина B удалена от прямой AC на длину катета, поэтому лежит на параллельной прямой на этом расстоянии.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
Решение
Даны отрезки \(c\) (гипотенуза) и \(a\) (катет), \(a < c\). Построить \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), \(AB = c\), \(BC = a\).
Построим прямой угол с вершиной \(C\) (проведём перпендикуляр к прямой).
На одной стороне отложим \(CB = a\).
Окружность с центром \(B\) радиусом \(c\) пересечёт другую сторону угла в точке \(A\) (пересечение есть, так как \(c > a\): расстояние от \(B\) до этой стороны равно \(a\)).
В \(\triangle ABC\): \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = a\), \(AB = c\). Задача решается при \(a < c\), решение единственно (признак равенства по гипотенузе и катету).
Ответ
Строим прямой угол, откладываем катет и засекаем окружностью радиуса гипотенузы вторую сторону
Почему так
Третья вершина удалена от конца катета на длину гипотенузы и лежит на перпендикулярной стороне прямого угла.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).