Задание 324

1. Возьмём любой отрезок \(a\) и удвоим его — получим \(2a\).

2. По задаче 323, в) построим прямоугольный треугольник с гипотенузой \(2a\) и катетом \(a\).

3. Угол, лежащий против катета \(a\), равен \(30^\circ\): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то противолежащий угол равен \(30^\circ\) (свойство 3 п. 35).

Способ 1. Построим по трём сторонам равносторонний треугольник (все стороны равны одному отрезку). Его углы равны, их сумма \(180^\circ\), поэтому каждый равен \(60^\circ\).

Способ 2. В треугольнике из пункта а) второй острый угол равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

1. Построим угол \(30^\circ\) (пункт а).

2. Построим его биссектрису циркулем и линейкой. Каждая из половин равна \(30^\circ : 2 = 15^\circ\).

1. Построим угол \(60^\circ\) (пункт б).

2. Продолжим одну его сторону за вершину. Смежный угол равен \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

1. Построим угол \(30^\circ\) (пункт а).

2. Продолжим одну его сторону за вершину. Смежный угол равен \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).

1. Построим прямой угол: проведём перпендикуляр к прямой.

2. Построим его биссектрису — получим угол \(45^\circ\).

3. Продолжим одну сторону угла \(45^\circ\) за вершину. Смежный угол равен \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

1. Построим угол \(15^\circ\) (пункт в).

2. Продолжим одну его сторону за вершину. Смежный угол равен \(180^\circ - 15^\circ = 165^\circ\).

1. Построим угол \(AOB = 60^\circ\) (пункт б).

2. От луча \(OB\) во внешнюю сторону отложим угол \(BOC\), равный построенному углу \(15^\circ\) (пункт в).

3. \(\angle AOC = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ\).

Другой способ: в прямом угле от одной стороны отложить \(15^\circ\) — оставшийся угол равен \(90^\circ - 15^\circ = 75^\circ\).

1. Построим угол \(75^\circ\) (пункт з).

2. Продолжим одну его сторону за вершину. Смежный угол равен \(180^\circ - 75^\circ = 105^\circ\).

Другой способ: к прямому углу приложить снаружи угол \(15^\circ\): \(90^\circ + 15^\circ = 105^\circ\).