Задача 1
Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон (повышенной трудности).
Решение
Даны отрезки \(a\), \(h\) и \(m\). Построить \(\triangle ABC\) с \(BC = a\), высотой \(AH = h\) и медианой \(BM = m\) к стороне \(AC\).
Анализ. Вершина \(A\) лежит на прямой \(p\), параллельной \(BC\), на расстоянии \(h\). Середина \(M\) отрезка \(AC\) (концы которого лежат на параллельных прямых \(p\) и \(BC\)) по задаче 290 лежит на прямой \(q\), параллельной \(BC\) и удалённой от неё на \(\dfrac{h}{2}\).
Построение.
-
Построим отрезок \(BC = a\) и проведём через него прямую.
-
Разделим \(h\) пополам и по задаче 292 построим прямую \(q \parallel BC\) на расстоянии \(\dfrac{h}{2}\).
-
Окружность с центром \(B\) радиусом \(m\) пересечёт \(q\) в точке \(M\).
-
На луче \(CM\) за точкой \(M\) отложим \(MA = CM\).
\(\triangle ABC\) искомый: \(BC = a\), \(M\) — середина \(AC\) и \(BM = m\); расстояние от \(A\) до \(BC\) вдвое больше расстояния от \(M\), то есть равно \(h\) (прямоугольные треугольники с гипотенузами \(CM\) и \(CA\) и острым углом \(C\)).
Решение есть при \(m \ge \dfrac{h}{2}\); при \(m > \dfrac{h}{2}\) две точки пересечения дают два треугольника (с одной стороны от \(BC\); с другой стороны получаются равные им).
Ответ
Середины отрезков между двумя параллельными прямыми лежат на средней параллельной прямой, и это даёт второе место для точки M.
Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».