Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 326

Задача 1

Условие (кратко)

Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой AC, так, чтобы точки D и E лежали на сторонах AB и BC и DE = AD + CE.

Решение

Построение.

Построим биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ треугольника; $$O$$ — их точка пересечения.
Через $$O$$ проведём прямую, параллельную $$AC$$ (через построение равных накрест лежащих углов). Она пересечёт $$AB$$ в точке $$D$$ , а $$BC$$ — в точке $$E$$ .

Доказательство (как в задаче 250).

$\angle DOA = \angle OAC$ — накрест лежащие углы при $DE \parallel AC$ и секущей $$AO$$ . А $\angle OAC = \angle DAO$ , так как $$AO$$ — биссектриса. Значит, $\angle DOA = \angle DAO$ , $\triangle ADO$ равнобедренный и $$DO = AD$$ .
Так же $\angle EOC = \angle OCA = \angle ECO$ , поэтому $$OE = CE$$ .
$$DE = DO + OE = AD + CE$$ .

Ответ

DE проходит через точку пересечения биссектрис углов A и C параллельно AC

Почему так

Накрест лежащие углы при параллельных прямых вместе с биссектрисами дают два равнобедренных треугольника ADO и CEO.

Подробнее — в теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).