Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 327

Задача 1

Условие (кратко)

Дан равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.

Решение

Построение. Циркулем возьмём отрезок $$CB_1$$ и отложим его: на стороне $$BC$$ от точки $$B$$ — получим $$A_1$$ ( $$BA_1 = CB_1$$ ), на стороне $$AB$$ от точки $$A$$ — получим $$C_1$$ ( $$AC_1 = CB_1$$ ).

Доказательство. Пусть сторона треугольника $$ABC$$ равна $$s$$ , $$CB_1 = x$$ . Тогда $$BA_1 = AC_1 = CB_1 = x$$ и $$BC_1 = CA_1 = AB_1 = s - x$$ .

Треугольники $$C_1BA_1$$ , $$B_1AC_1$$ и $$A_1CB_1$$ равны по первому признаку: в каждом стороны $$x$$ и $$s - x$$ и угол $60^\circ$ между ними.

Значит, равны их третьи стороны: $$A_1C_1 = C_1B_1 = B_1A_1$$ , и $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний.

Ответ

Откладываем BA₁ = AC₁ = CB₁; три угловых треугольника равны, поэтому A₁B₁C₁ равносторонний

Почему так

Три треугольника при вершинах равностороннего треугольника равны по двум сторонам и углу 60° между ними.

Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).