Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 328

Условие (кратко)

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла (повышенной трудности).

Решение

Даны угол $\alpha$ , отрезки $$h$$ (высота $$AH$$ ) и $$l$$ (биссектриса $$AD$$ ), $l \ge h$ . Построить $\triangle ABC$ с $\angle A = \alpha$ .

Случай $$l > h$$ .

Построим прямоугольный треугольник $$AHD$$ с гипотенузой $$AD = l$$ и катетом $$AH = h$$ (задача 323, в). Прямая $$HD$$ — прямая, на которой будет сторона $$BC$$ .
Разделим угол $\alpha$ пополам и от луча $$AD$$ по обе стороны отложим углы $\dfrac{\alpha}{2}$ .
Стороны этих углов пересекут прямую $$HD$$ в точках $$B$$ и $$C$$ .

$\triangle ABC$ искомый: $\angle BAC = \alpha$ , $$AD$$ делит его пополам, $AH \perp BC$ , $$AH = h$$ , $$AD = l$$ .

Случай $$l = h$$ : биссектриса совпадает с высотой. Проведём прямую, восставим к ней перпендикуляр $$AH = h$$ и отложим от $$AH$$ по обе стороны углы $\dfrac{\alpha}{2}$ — получится равнобедренный треугольник.

Решение существует, если $l \ge h$ и обе стороны угла пересекают прямую $$HD$$ (сумма $\dfrac{\alpha}{2} + \angle HAD$ меньше $90^\circ$ ).

Ответ

Строим прямоугольный треугольник AHD по гипотенузе l и катету h, затем откладываем от AD углы α/2 до пересечения с прямой HD

Почему так

Высота и биссектриса задают прямоугольный треугольник AHD, а данный угол делится биссектрисой пополам.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Задание 328

Задача 1