Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 329

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне (повышенной трудности).

Решение

Даны отрезки $$a$$ (сторона $$BC$$ ), $$h$$ (высота $$AH$$ ) и $$m$$ (медиана $$AM$$ ), $m \ge h$ .

Построим прямоугольный треугольник $$AHM$$ с гипотенузой $$AM = m$$ и катетом $$AH = h$$ (задача 323, в). Если $$m = h$$ , то $$M = H$$ : просто восставим перпендикуляр $$AH = h$$ к прямой.
На прямой $$HM$$ отложим от точки $$M$$ в обе стороны отрезки $MB = MC = \dfrac{a}{2}$ .

$\triangle ABC$ искомый: $$BC = a$$ , $$M$$ — середина $$BC$$ , поэтому $$AM = m$$ — медиана; $AH \perp BC$ , $$AH = h$$ — высота.

Решение существует при $m \ge h$ .

Ответ

Строим прямоугольный треугольник AHM по гипотенузе m и катету h, на прямой HM откладываем MB = MC = a/2

Почему так

Медиана и высота к одной стороне образуют прямоугольный треугольник, а середина стороны M известна после его построения.

Подробнее — в теме «Построение треугольника по трём элементам».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).