Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе IV, задание 330

Задача 1

Условие (кратко)

Дан треугольник ABC с прямым углом A. На стороне AB постройте точку M, находящуюся на расстоянии AM от прямой BC (повышенной трудности).

Решение

Построение. Построим биссектрису угла $$C$$ ; она пересечёт сторону $$AB$$ в точке $$M$$ .

Доказательство. Опустим из $$M$$ перпендикуляр $$MK$$ на $$BC$$ .

Прямоугольные треугольники $$CAM$$ и $$CKM$$ (прямые углы $$A$$ и $$K$$ ) имеют общую гипотенузу $$CM$$ и равные острые углы $$ACM = KCM$$ , так как $$CM$$ — биссектриса.
Значит, они равны по гипотенузе и острому углу, и $$MK = MA$$ .

Расстояние от $$M$$ до прямой $$BC$$ равно $$MK = AM$$ , что и требовалось.

Ответ

M — точка пересечения биссектрисы угла C со стороной AB

Почему так

Точка на биссектрисе угла C одинаково удалена от его сторон, это следует из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).