Задача 1
Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\), хорда \(AB\) не является диаметром, \(a\) и \(b\) — касательные в точках \(A\) и \(B\). Доказать: прямые \(a\) и \(b\) пересекаются.
Докажем методом от противного. Пусть \(a \parallel b\).
-
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: \(OA \perp a\), \(OB \perp b\).
-
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой: \(OA \perp b\).
-
Через точку \(O\) проходит только одна прямая, перпендикулярная прямой \(b\). Значит, прямые \(OA\) и \(OB\) совпадают, и точки \(A\), \(O\), \(B\) лежат на одной прямой.
-
Тогда хорда \(AB\) проходит через центр, то есть является диаметром, — противоречие с условием. Значит, касательные \(a\) и \(b\) пересекаются.
Ответ
Если бы касательные были параллельны, оба радиуса легли бы на один перпендикуляр к ним, и хорда оказалась бы диаметром.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».