Радиус окружности 5 см, расстояние от центра до прямой тоже 5 см. Как расположены прямая и окружность?

Прямая касается окружности

Прямая пересекает окружность в двух точках

Прямая проходит через центр

Какие утверждения верны?

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Любая прямая, перпендикулярная радиусу, — касательная

Прямая может иметь с окружностью три общие точки

Сколько касательных к окружности можно провести через точку, лежащую вне окружности?

Бесконечно много

Касательная к окружности — 7 класс, геометрия: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Диаметры и хорды окружности

Коротко о главном

Прямая и окружность имеют две общие точки, одну или ни одной — это решает сравнение расстояния $$d$$ от центра до прямой с радиусом $$r$$ . Касательная — прямая с одной общей точкой; она перпендикулярна радиусу в точку касания, а отрезки касательных из одной точки равны.

d < r \text{ — секущая}, \quad d = r \text{ — касательная}, \quad d > r \text{ — нет общих точек}

Подробное объяснение

Колесо велосипеда катится по дороге и касается её в одной точке. Дорога — касательная к окружности колеса, а спица, направленная вниз, перпендикулярна дороге. Это и есть главное свойство касательной.

Три случая расположения прямой и окружности

Прямая не может пересечь окружность больше чем в двух точках. Если бы общих точек было три — $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , — центр $$O$$ был бы равноудалён от концов отрезков $$AB$$ и $$BC$$ и лежал бы на серединных перпендикулярах к ним. Но оба перпендикуляра перпендикулярны одной прямой, значит, параллельны и общей точки не имеют. Противоречие.

Три одинаковые окружности с центром O и радиусом r, d — расстояние от центра до прямой. При d меньше r прямая пересекает окружность в A и B, при d равном r касается в точке A, при d больше r общих точек нет. — Сколько общих точек у прямой и окружности, решает сравнение расстояния d от центра до прямой с радиусом r.

Остаются три случая. Пусть $$d$$ — расстояние от центра до прямой (длина перпендикуляра), $$r$$ — радиус.

$$d < r$$ — две общие точки, прямую называют секущей.
$$d = r$$ — одна общая точка, прямая — касательная, общая точка — точка касания.
$$d > r$$ — общих точек нет.

Все точки касательной, кроме точки касания, — внешние: они дальше от центра, чем радиус.

Свойство касательной

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Почему: пусть $$p$$ касается окружности в точке $$A$$ . Любая другая точка $$B$$ прямой $$p$$ внешняя, поэтому $$OB > OA$$ . Значит, $$OA$$ — самый короткий отрезок от $$O$$ до прямой, то есть перпендикуляр, а остальные отрезки — наклонные.

Признак касательной

Обратное утверждение: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она касательная. Радиус в этом случае — перпендикуляр из центра к прямой, значит, $$d = r$$ , и общая точка ровно одна.

На признаке основано построение: чтобы провести касательную через точку $$A$$ окружности, проведите прямую $$OA$$ и через $$A$$ — перпендикуляр к ней.

Отрезки касательных из одной точки

Из точки A проведены две касательные к окружности с центром O, точки касания B и C. Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным, отрезки AB и AC отмечены равными, углы 3 и 4 между касательными и прямой AO равны. — Отрезки касательных из одной точки равны, а прямая через эту точку и центр делит угол между касательными пополам.

Из внешней точки $$A$$ можно провести две касательные; $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Отрезки $$AB$$ и $$AC$$ называют отрезками касательных. Треугольники $$ABO$$ и $$ACO$$ прямоугольные (радиусы перпендикулярны касательным) и равны по гипотенузе $$OA$$ и катету ( $$OB = OC$$ ). Отсюда:

$$AB = AC$$ — отрезки касательных из одной точки равны;
$\angle BAO = \angle CAO$ — прямая $$AO$$ делит угол между касательными пополам.

Как решать задачи

Видите касательную — сразу проведите радиус в точку касания и поставьте прямой угол.
Две касательные из одной точки — отметьте равные отрезки и проведите прямую через эту точку и центр: она делит угол пополам.
Ищете углы — работайте в прямоугольных треугольниках: сумма острых углов $90^\circ$ , катет против $30^\circ$ — половина гипотенузы.
Нужно узнать, касается ли прямая окружности, — сравните расстояние от центра до прямой с радиусом.

Разобранные примеры

База

Секущая, касательная или мимо

Условие

Радиус окружности 7 см. Расстояния от центра до прямых $$a$$ , $$b$$ и $$c$$ равны 5 см, 7 см и 10 см. Как каждая прямая расположена относительно окружности?

Дано

$$r = 7$$ см
$$d_a = 5$$ см
$$d_b = 7$$ см
$$d_c = 10$$ см

Найти

число общих точек

Решение

$$5 < 7$$ — прямая $$a$$ секущая (две общие точки). $$7 = 7$$ — прямая $$b$$ касательная (одна точка). $$10 > 7$$ — прямая $$c$$ с окружностью не пересекается.

Ответ: a — секущая, b — касательная, c — общих точек нет

Средний

Углы при двух касательных

Условие

Из точки $$A$$ проведены касательные $$AB$$ и $$AC$$ к окружности с центром $$O$$ , $\angle BAC = 80^\circ$ . Найдите углы $$AOB$$ и $$BOC$$ .

Дано

$$AB$$
$$AC$$ — касательные
$\angle BAC = 80^\circ$

Найти

$\angle AOB$
$\angle BOC$

Решение

Прямая $$AO$$ делит угол между касательными пополам: $\angle BAO = 40^\circ$ . Радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $$ABO$$ прямоугольный и $\angle AOB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$ . Так же $\angle AOC = 50^\circ$ , значит, $\angle BOC = 100^\circ$ .

Ответ: ∠AOB = 50°, ∠BOC = 100°

Сложный

Касательные в концах диаметра

Условие

$$AB$$ — диаметр окружности. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены касательные $$a$$ и $$b$$ . Докажите, что $a \parallel b$ .

Решение

Дано: $$AB$$ — диаметр, $$a$$ касается окружности в $$A$$ , $$b$$ — в $$B$$ . Доказать: $a \parallel b$ .

По свойству касательной $a \perp OA$ и $b \perp OB$ . Радиусы $$OA$$ и $$OB$$ лежат на одной прямой $$AB$$ , значит, $a \perp AB$ и $b \perp AB$ . Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Ответ: Доказано: касательные в концах диаметра параллельны

Типичные ошибки

Сравнивают расстояние с диаметром

Почему неверно

Расстояние $$d$$ измеряется от центра, а от центра до окружности — радиус. Если сравнить $$d = 8$$ см с диаметром 10 см, получится «секущая», хотя при радиусе 5 см прямая проходит мимо.

Как правильно

Всегда сравнивайте $$d$$ с радиусом $$r$$ . Если дан диаметр, сначала разделите его пополам.

Любой перпендикуляр к радиусу считают касательной

Почему неверно

Прямая, перпендикулярная радиусу $$OA$$ в его середине, пересекает окружность в двух точках. Признак требует, чтобы прямая проходила именно через конец радиуса, лежащий на окружности.

Как правильно

Проверяйте оба условия признака: прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Отрезком касательной называют отрезок до центра

Почему неверно

Отрезок касательной — от данной точки до точки касания ( $$AB$$ ), а $$AO$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, она длиннее. Равны между собой $$AB$$ и $$AC$$ , а не $$AB$$ и $$AO$$ .

Как правильно

Отмечайте точки касания и считайте отрезки до них; $$AO$$ используйте как общую гипотенузу и биссектрису угла.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Радиус окружности равен 6 см. Расстояния от её центра до прямых a, b и c равны 4 см, 6 см и 9 см. Сколько общих точек имеет с окружностью каждая прямая?

Подсказка

Сравните каждое расстояние с радиусом.

Решение

$$4 < 6$$ — прямая $$a$$ секущая, две общие точки. $$6 = 6$$ — прямая $$b$$ касательная, одна общая точка. $$9 > 6$$ — у прямой $$c$$ общих точек нет.

Ответ

a — две, b — одна (касательная), c — ни одной

База Задача 2

Прямая AB касается окружности с центром O в точке B. Угол AOB равен 50°. Найдите угол OAB.

Подсказка

Какой угол образует касательная с радиусом, проведённым в точку касания?

Решение

Касательная перпендикулярна радиусу в точку касания: $\angle OBA = 90^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$OBA$$ сумма острых углов $90^\circ$ , поэтому $\angle OAB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ .

Ответ

40°

Средний Задача 3

Из точки A к окружности с центром O проведены касательные AB и AC (B и C — точки касания), ∠BAC = 70°. Найдите угол BOC.

Подсказка

Прямая AO делит угол BAC пополам; рассмотрите прямоугольные треугольники ABO и ACO.

Решение

Отрезки касательных составляют равные углы с прямой $$AO$$ : $\angle BAO = \angle CAO = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ . В прямоугольном треугольнике $$ABO$$ ( $\angle B = 90^\circ$ ) угол $AOB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ . Так же $\angle AOC = 55^\circ$ . Значит, $\angle BOC = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$ .

Ответ

110°

Средний Задача 4

AB и AC — отрезки касательных, проведённых из точки A к окружности, ∠BAC = 60°, AB = 7 см. Найдите длину хорды BC.

Подсказка

Какой треугольник ABC, если AB = AC и угол между ними 60°?

Решение

Отрезки касательных из одной точки равны: $$AC = AB = 7$$ см. Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, углы при основании равны $\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$ . Все углы по $60^\circ$ — треугольник равносторонний, $$BC = 7$$ см.

Ответ

7 см

Сложный Задача 5

Из точки A, удалённой от центра O окружности на расстояние, вдвое большее радиуса, проведены две касательные. Найдите угол между ними.

Подсказка

В прямоугольном треугольнике ABO катет OB вдвое меньше гипотенузы OA.

Решение

Пусть $$B$$ — точка касания. $\angle ABO = 90^\circ$ , катет $$OB = r$$ , гипотенуза $$OA = 2r$$ . Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла $30^\circ$ : $\angle OAB = 30^\circ$ . Прямая $$AO$$ делит угол между касательными пополам, поэтому этот угол равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

Ответ

60°

Сложный Задача 6

Из точки A к окружности с центром O проведены касательные AB и AC (B и C — точки касания). Докажите, что прямая AO перпендикулярна хорде BC и делит её пополам.

Подсказка

Какие две точки равноудалены от концов отрезка BC?

Решение

Дано: $$AB$$ и $$AC$$ — отрезки касательных, $$O$$ — центр. Доказать: $AO \perp BC$ и $$AO$$ проходит через середину $$BC$$ .

Отрезки касательных из одной точки равны: $$AB = AC$$ . Радиусы равны: $$OB = OC$$ . Значит, точки $$A$$ и $$O$$ равноудалены от концов отрезка $$BC$$ и обе лежат на серединном перпендикуляре к нему. Через две точки проходит одна прямая, поэтому $$AO$$ и есть серединный перпендикуляр к $$BC$$ : она перпендикулярна $$BC$$ и проходит через её середину.

Ответ

Утверждение доказано: AO — серединный перпендикуляр к хорде BC

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите монету на лист и приложите к ней линейку: линейка касается монеты в одной точке. Нарисуйте отрезок от центра монеты до точки касания и проверьте углом листа бумаги — угол прямой. Затем приложите к монете две линейки, сходящиеся в одной точке, и измерьте расстояния от этой точки до точек касания — они одинаковые.

Вопросы для проверки понимания: 1) Радиус 4 см, расстояние от центра до прямой 3 см — сколько общих точек? 2) Как построить касательную через данную точку окружности? 3) Почему отрезки касательных из одной точки равны?

На что обратить внимание. В задачах на касательные почти всегда первый шаг — провести радиус в точку касания. Если ребёнок забывает это сделать, решение не складывается; приучите его начинать именно с этого.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 42	343, 344, 345, 346, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 358, 359