Задача 1
AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Касательная в точке X дуги BC пересекает AB и AC в точках M и N. Докажите, что периметр AMN и угол MON не зависят от X.
Решение
Дано: \(AB\), \(AC\) — касательные, \(B\), \(C\) — точки касания, \(X\) — точка дуги \(BC\), касательная в точке \(X\) пересекает \(AB\) в \(M\), \(AC\) в \(N\). Доказать: \(P_{AMN}\) и \(\angle MON\) не зависят от \(X\).
-
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(MB = MX\), \(NC = NX\), \(AB = AC\).
-
\(P_{AMN} = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC = 2AB\). Это число от \(X\) не зависит.
-
\(\triangle OBM = \triangle OXM\) по трём сторонам (\(OB = OX\) — радиусы, \(MB = MX\), \(OM\) — общая), поэтому \(\angle BOM = \angle MOX\). Аналогично \(\triangle OXN = \triangle OCN\) и \(\angle XON = \angle NOC\).
-
Луч \(OX\) лежит внутри угла \(BOC\), поэтому \(\angle MON = \angle MOX + \angle XON = \dfrac{\angle BOX + \angle XOC}{2} = \dfrac{\angle BOC}{2}\).
-
Угол \(BOC\) от \(X\) не зависит: в прямоугольных треугольниках \(ABO\) и \(ACO\) (радиус перпендикулярен касательной) \(\angle AOB = 90^\circ - \angle BAO\), \(\angle AOC = 90^\circ - \angle CAO\), откуда \(\angle BOC = 180^\circ - \angle A\) и \(\angle MON = 90^\circ - \dfrac{\angle A}{2}\).
Ответ
Отрезки касательных из одной точки равны, поэтому MN = MB + NC, а лучи OM и ON — биссектрисы углов BOX и XOC.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».