Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 396

Задача 1

Условие (кратко)

(Повышенной трудности.) Две окружности имеют общую точку M и общую касательную в ней. Прямая AB касается одной окружности в точке A, другой — в точке B. Докажите, что M лежит на окружности с диаметром AB.

Решение

Дано: окружности касаются друг друга в точке $$M$$ , $$AB$$ — их общая касательная, $$A$$ и $$B$$ — точки касания. Доказать: $$M$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$ .

Пусть $$K$$ — точка пересечения общей касательной, проведённой через точку $$M$$ , с прямой $$AB$$ .
Из точки $$K$$ к первой окружности проведены касательные $$KA$$ и $$KM$$ , а отрезки касательных из одной точки равны: $$KA = KM$$ . Для второй окружности так же $$KB = KM$$ .
Значит, $$KA = KM = KB$$ . Точка $$K$$ лежит на прямой $$AB$$ и равноудалена от различных точек $$A$$ и $$B$$ , поэтому $$K$$ — середина отрезка $$AB$$ .
Окружность с центром $$K$$ и радиусом $$KA$$ имеет диаметр $$AB$$ и проходит через точку $$M$$ , так как $$KM = KA$$ .

Ответ

Утверждение доказано, точка M удалена от середины K отрезка AB на KA = KB

Почему так

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому KA = KM = KB.

Подробнее — в теме «Касательная к окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).