Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 397

Условие (кратко)

Отрезок AB — диаметр окружности, хорды BC и AD параллельны. Докажите, что хорда CD — диаметр.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , $$AB$$ — диаметр, $BC \parallel AD$ . Доказать: $$CD$$ — диаметр.

Треугольники $$OBC$$ и $$OAD$$ равнобедренные ( $$OB = OC$$ , $$OA = OD$$ — радиусы), их углы при основаниях острые: $\angle OBC < 90^\circ$ , $\angle OAD < 90^\circ$ .
Точки $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ : иначе углы $$ABC$$ и $$BAD$$ были бы односторонними при параллельных прямых и в сумме давали бы $180^\circ$ , а оба они острые.
Значит, $\angle ABC$ и $\angle BAD$ — накрест лежащие при параллельных $$BC$$ , $$AD$$ и секущей $$AB$$ , поэтому $\angle OBC = \angle OAD$ .
Углы при вершине равнобедренных треугольников тоже равны: $\angle BOC = 180^\circ - 2\angle OBC = 180^\circ - 2\angle OAD = \angle AOD$ .
Углы $$AOD$$ и $$DOB$$ смежные, $\angle DOB = 180^\circ - \angle AOD = 180^\circ - \angle BOC$ . Значит, $\angle BOC + \angle BOD = 180^\circ$ , а лучи $$OC$$ и $$OD$$ лежат по разные стороны от прямой $$OB$$ . Поэтому эти лучи дополнительные: точки $$C$$ , $$O$$ , $$D$$ лежат на одной прямой.
Хорда $$CD$$ проходит через центр, следовательно, $$CD$$ — диаметр.

Ответ

Утверждение доказано, хорда CD проходит через центр окружности

Почему так

Равнобедренные треугольники OBC и OAD имеют равные углы при основаниях, поэтому ∠BOC = ∠AOD, и угол COD развёрнутый.

Задание 397