Радиус окружности 6 см, точка M удалена от центра на 6 см. Где лежит точка M?

Внутри окружности

Это зависит от положения центра

Какие утверждения верны?

Диаметр, проведённый через середину хорды (не диаметра), перпендикулярен этой хорде

Из любой точки окружности, кроме концов, диаметр виден под прямым углом

Любая прямая, перпендикулярная хорде, проходит через центр

Что представляет собой множество всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом?

Серединный перпендикуляр к AB

Окружность с центром A и радиусом AB

Диаметры и хорды окружности — 7 класс, геометрия

Коротко о главном

Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен ей, и наоборот: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Из любой точки окружности её диаметр виден под прямым углом, и других таких точек на плоскости нет.

OM \perp CD \iff CM = MD

Подробное объяснение

Представьте круглый стол, у которого потеряли отметку центра. Как его найти, имея только линейку и угольник? Ответ дают свойства хорд и диаметров.

Окружность, внутренние и внешние точки

Окружность — это все точки плоскости, удалённые от центра $$O$$ на одно и то же расстояние $$r$$ — радиус. Поэтому окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от центра.

Окружность делит остальные точки плоскости на две части:

внутренние точки — расстояние до центра меньше радиуса, $$OM < r$$ ;
внешние точки — расстояние до центра больше радиуса, $$OM > r$$ .

Если $$OM = r$$ , точка лежит на самой окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр; он состоит из двух радиусов, $$d = 2r$$ .

Свойство 1: диаметр и середина хорды

Слева диаметр AB проходит через середину M хорды CD и перпендикулярен ей, радиусы OC и OD пунктиром. Справа диаметр AB и две точки окружности C и K, углы ACB и AKB прямые. — Диаметр через середину хорды перпендикулярен ей; из любой точки окружности диаметр виден под прямым углом.

Пусть $$CD$$ — хорда (не диаметр), $$M$$ — её середина. Соединим центр с концами хорды: $$OC = OD$$ как радиусы, поэтому треугольник $$COD$$ равнобедренный. Отрезок $$OM$$ — его медиана к основанию, а такая медиана является и высотой. Значит, $OM \perp CD$ , и диаметр, проходящий через $$M$$ , перпендикулярен хорде.

Обратное тоже верно: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Через центр $$O$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную $$CD$$ . Диаметр через середину хорды перпендикулярен ей — значит, это и есть данный диаметр, и он проходит через середину.

Отсюда следует полезный вывод: серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр окружности.

Свойство 2: прямой угол, опирающийся на диаметр

Говорят, что отрезок $$AB$$ виден под прямым углом из точки $$C$$ , если $\angle ACB = 90^\circ$ .

Пусть $$AB$$ — диаметр, $$C$$ — любая другая точка окружности. В треугольнике $$ACB$$ отрезок $$CO$$ — медиана, и $$CO = OA = OB$$ (всё это радиусы). Медиана равна половине стороны, к которой проведена, — так бывает только в прямоугольном треугольнике, и прямой угол лежит против этой стороны: $\angle ACB = 90^\circ$ .

И наоборот: если $\angle ACB = 90^\circ$ , то медиана $$CO$$ к гипотенузе равна её половине, $$CO = OA$$ , и точка $$C$$ лежит на окружности с диаметром $$AB$$ .

Итог: множество всех точек, из которых отрезок $$AB$$ виден под прямым углом, — окружность с диаметром $$AB$$ без точек $$A$$ и $$B$$ .

Как решать задачи

Видите хорду и центр — проведите радиусы к концам хорды: получится равнобедренный треугольник.
Если сказано «диаметр перпендикулярен хорде» — сразу отмечайте равные половины хорды; если «через середину хорды» — отмечайте прямой угол.
Если вершина треугольника лежит на окружности, а противоположная сторона — диаметр, этот угол прямой. Дальше работают свойства прямоугольного треугольника: сумма острых углов $90^\circ$ , катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы.
Чтобы понять, где лежит точка, сравните её расстояние до центра с радиусом.

Разобранные примеры

База

Половина хорды и углы

Условие

Диаметр $$AB$$ перпендикулярен хорде $$CD$$ и пересекает её в точке $$M$$ , $$CD = 16$$ см, $\angle COD = 100^\circ$ . Найдите $$MD$$ и $\angle COM$ .

Дано

$AB \perp CD$
$$CD = 16$$ см
$\angle COD = 100^\circ$

Найти

$$MD$$
$\angle COM$

Решение

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: $$MD = 16 : 2 = 8$$ см. В равнобедренном треугольнике $$COD$$ ( $$OC = OD$$ ) высота $$OM$$ к основанию является и биссектрисой: $\angle COM = 100^\circ : 2 = 50^\circ$ .

Ответ: MD = 8 см, ∠COM = 50°

Средний

Углы треугольника, вписанного в полукруг

Условие

$$AB$$ — диаметр окружности, $$C$$ — точка окружности, угол $$A$$ треугольника $$ABC$$ в 2 раза больше угла $$B$$ . Найдите углы треугольника.

Дано

$$AB$$ — диаметр
$$C$$ на окружности
$\angle A = 2\angle B$

Найти

$\angle A$
$\angle B$
$\angle C$

Решение

Диаметр виден из точки окружности под прямым углом: $\angle C = 90^\circ$ . Тогда $\angle A + \angle B = 90^\circ$ , то есть $2\angle B + \angle B = 90^\circ$ , $\angle B = 30^\circ$ , $\angle A = 60^\circ$ .

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 30°, ∠C = 90°

Сложный

Как найти потерянный центр

Условие

На листе нарисована окружность, но её центр не отмечен. Как найти центр с помощью линейки и угольника?

Решение

Проведём две непараллельные хорды $$CD$$ и $$EF$$ .
Отметим середины хорд (измерив их линейкой) и через каждую середину проведём угольником прямую, перпендикулярную хорде.
Центр $$O$$ равноудалён от концов каждой хорды ( $$OC = OD$$ , $$OE = OF$$ ), поэтому лежит на обоих серединных перпендикулярах. Хорды не параллельны, значит, перпендикуляры к ним пересекаются ровно в одной точке — это и есть центр.

Ответ: Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к двум непараллельным хордам

Типичные ошибки

Считают, что прямой угол опирается на любую хорду

Почему неверно

Свойство «угол прямой» доказано только для диаметра: в доказательстве используется, что $$O$$ — середина стороны $$AB$$ . Если $$AB$$ — хорда, не проходящая через центр, угол $$ACB$$ будет острым или тупым.

Как правильно

Прежде чем ставить прямой угол при вершине $$C$$ , проверьте, что противоположная сторона проходит через центр, то есть является диаметром.

Путают точку на окружности с внутренней

Почему неверно

Внутренние точки — те, что ближе к центру, чем радиус. Точка на расстоянии ровно $$r$$ принадлежит самой окружности, а не внутренней части.

Как правильно

Сравнивайте три случая: $$OM < r$$ — внутренняя, $$OM = r$$ — на окружности, $$OM > r$$ — внешняя.

Применяют свойство к хорде-диаметру

Почему неверно

Если хорда сама диаметр, её середина — центр, и через неё проходит любой другой диаметр, а перпендикулярен ей только один. Свойство 1 говорит о хорде, не проходящей через центр.

Как правильно

Для диаметра пользуйтесь другим фактом: два диаметра просто пересекаются в центре и делят друг друга пополам.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде CD и пересекает её в точке M. Длина хорды CD равна 14 см. Найдите CM.

Подсказка

Что делает диаметр, перпендикулярный хорде?

Решение

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому $$M$$ — середина $$CD$$ и $CM = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ

7 см

База Задача 2

Радиус окружности с центром O равен 5 см. Расстояния от центра до точек равны OA = 3 см, OB = 5 см, OC = 7,2 см. Какая из точек внутренняя, какая внешняя, какая лежит на окружности?

Подсказка

Сравните каждое расстояние с радиусом.

Решение

$$OA = 3 < 5$$ — точка $$A$$ внутренняя. $$OB = 5$$ — расстояние равно радиусу, точка $$B$$ лежит на окружности. $$OC = 7{,}2 > 5$$ — точка $$C$$ внешняя.

Ответ

A — внутренняя, B — на окружности, C — внешняя

Средний Задача 3

Хорда CD окружности с центром O видна из центра под углом ∠COD = 120°. Диаметр проходит через середину M хорды CD. Найдите углы OCD и COM.

Подсказка

Треугольник COD равнобедренный, а OM в нём — медиана к основанию.

Решение

$$OC = OD$$ как радиусы, поэтому $\triangle COD$ равнобедренный и $\angle OCD = \angle ODC = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$ . Медиана $$OM$$ к основанию является и биссектрисой, поэтому $\angle COM = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$ .

Ответ

∠OCD = 30°, ∠COM = 60°

Средний Задача 4

AB — диаметр окружности, C — точка окружности, отличная от A и B. Угол CAB равен 35°. Найдите угол ABC.

Подсказка

Под каким углом диаметр виден из точки окружности?

Решение

Из точки окружности диаметр виден под прямым углом: $\angle ACB = 90^\circ$ . Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ , поэтому $\angle ABC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Ответ

55°

Сложный Задача 5

AB — диаметр окружности, AB = 20 см, C — точка окружности, ∠ABC = 30°. CH — высота треугольника ABC. Найдите AC и AH.

Подсказка

Сначала найдите угол ACB, затем дважды используйте катет против угла 30°.

Решение

Диаметр виден из $$C$$ под прямым углом: $\angle ACB = 90^\circ$ . Катет $$AC$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому $AC = \dfrac{AB}{2} = 10$ см. Тогда $\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ , а в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ угол $ACH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ . Катет $$AH$$ лежит против него: $AH = \dfrac{AC}{2} = 5$ см.

Ответ

AC = 10 см, AH = 5 см

Сложный Задача 6

Отрезок AB виден под прямым углом из точек C и K (∠ACB = ∠AKB = 90°), O — середина AB. Докажите, что OC = OK.

Подсказка

Где лежат все точки, из которых отрезок AB виден под прямым углом?

Решение

Дано: $\angle ACB = \angle AKB = 90^\circ$ , $$O$$ — середина $$AB$$ . Доказать: $$OC = OK$$ .

В прямоугольном треугольнике $$ACB$$ медиана $$CO$$ , проведённая к гипотенузе, равна её половине: $OC = \dfrac{AB}{2}$ . Точно так же в треугольнике $$AKB$$ получаем $OK = \dfrac{AB}{2}$ . Значит, $$OC = OK$$ : обе точки лежат на окружности с диаметром $$AB$$ .

Ответ

Утверждение доказано: C и K лежат на окружности с диаметром AB

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите круглую тарелку и обведите её на бумаге. Проведите хорду, согните лист так, чтобы концы хорды совпали: линия сгиба пройдёт через середину хорды перпендикулярно ей — и через центр. Потом поставьте угол листа бумаги (прямой угол) так, чтобы его стороны проходили через концы диаметра: вершина всегда окажется на окружности.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему треугольник с вершиной в центре и основанием-хордой равнобедренный? 2) Диаметр перпендикулярен хорде длиной 10 см — на какие части он её делит? 3) Где лежат все точки, из которых отрезок виден под прямым углом?

На что обратить внимание. Ребёнок должен сам называть причину каждого шага: «радиусы равны», «медиана к основанию — высота», «опирается на диаметр, значит, $90^\circ$ ». Эти свойства понадобятся в следующей теме — о касательной.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 41	336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 357, 360, 361