Задача 1
Условие (кратко)
Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\) разносторонний
Найти
- может ли его вершина лежать на серединном перпендикуляре к стороне
-
Вершина \(A\) не может лежать на серединном перпендикуляре к стороне \(AB\) (или \(AC\)): тогда было бы \(AA = AB\), то есть \(AB = 0\).
-
Пусть противолежащая вершина \(C\) лежит на серединном перпендикуляре к стороне \(AB\). Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому \(CA = CB\), и треугольник равнобедренный, а не разносторонний.
Значит, вершина разностороннего треугольника не лежит ни на одном серединном перпендикуляре к его сторонам.
Ответ
Нет, иначе две стороны треугольника были бы равны
Почему так
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Подробнее — в теме «Серединный перпендикуляр к отрезку».