Что является геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка?

Биссектриса угла

Окружность с центром в середине отрезка

Прямая, параллельная отрезку

Какие утверждения верны?

Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка

Любая прямая через середину отрезка — серединный перпендикуляр

Почему в треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC не могут быть параллельны?

Тогда через B прошли бы две прямые, перпендикулярные одной прямой

Потому что стороны AB и BC равны

Потому что серединные перпендикуляры всегда проходят через вершину

Потому что треугольник всегда остроугольный

Серединный перпендикуляр к отрезку

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Свойство биссектрисы угла

Коротко о главном

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через его середину и перпендикулярна ему. Каждая его точка равноудалена от концов отрезка, и наоборот. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от вершин.

M \in m \iff MA = MB

Подробное объяснение

Два друга живут в домах $$A$$ и $$B$$ и хотят встречаться в месте, куда обоим идти одинаково. Таких мест много, и все они лежат на одной прямой — на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$ .

Что такое серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ — прямая $$m$$ , которая проходит через середину $$O$$ отрезка и перпендикулярна ему. Оба условия обязательны: прямая через середину под другим углом — не серединный перпендикуляр.

Теорема

Прямая часть. Возьмём точку $$M$$ на прямой $$m$$ , не совпадающую с $$O$$ . Прямоугольные треугольники $$OAM$$ и $$OBM$$ равны по двум катетам: $$OA = OB$$ , катет $$OM$$ общий. Значит, $$MA = MB$$ . Для самой точки $$O$$ равенство верно, потому что $$O$$ — середина.

Обратная часть. Пусть $$NA = NB$$ и $$N$$ не лежит на прямой $$AB$$ . Треугольник $$ANB$$ равнобедренный, $$NO$$ — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию — это и высота, поэтому $NO \perp AB$ , и $$N$$ лежит на $$m$$ . Если же $$N$$ на прямой $$AB$$ , то это середина $$O$$ .

Вывод: геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, — серединный перпендикуляр к нему.

Слева прямая m перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину O; точка M на m соединена с A и B, MA = MB. Справа серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, OA = OB = OC. — Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, а точка пересечения серединных перпендикуляров — от вершин треугольника.

Серединные перпендикуляры треугольника

Следствие. Серединные перпендикуляры к трём сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры $$m$$ и $$n$$ к сторонам $$AB$$ и $$BC$$ пересекаются: если бы они были параллельны, то через точку $$B$$ прошли бы две прямые, $$BA$$ и $$BC$$ , перпендикулярные прямой $$n$$ , а так не бывает. Пусть $$O$$ — их общая точка. Тогда $$OA = OB$$ и $$OB = OC$$ , значит, $$OA = OC$$ — точка $$O$$ лежит и на серединном перпендикуляре к $$AC$$ .

Точка пересечения равноудалена от всех вершин треугольника. Позже она станет центром окружности, описанной около треугольника.

Как решать задачи

Точка на серединном перпендикуляре — сразу записывайте равенство расстояний до концов отрезка.
Ищите равнобедренный треугольник: вершина на серединном перпендикуляре, основание — сам отрезок.
В задачах на периметр заменяйте один отрезок равным ему: $$AD = DC$$ .
Нужно построить точку, равноудалённую от двух точек, — постройте серединный перпендикуляр циркулем и линейкой.

Разобранные примеры

База

Равные расстояния

Условие

Точка $$K$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$CD$$ , $$KC = 11$$ см, $$CD = 8$$ см. Найдите периметр треугольника $$KCD$$ .

Дано

$$K$$ на серединном перпендикуляре к $$CD$$
$$KC = 11$$ см
$$CD = 8$$ см

Найти

$P_{KCD}$

Решение

Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка: $$KD = KC = 11$$ см. Периметр $$11 + 11 + 8 = 30$$ см.

Ответ: 30 см

Средний

Периметр с заменой отрезка

Условие

Серединный перпендикуляр к стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$E$$ . Периметр треугольника $$BEC$$ равен 20 см, $$BC = 8$$ см. Найдите $$AC$$ .

Дано

$$E$$ на серединном перпендикуляре к $$AB$$
$E \in AC$
$P_{BEC} = 20$ см
$$BC = 8$$ см

Найти

$$AC$$

Решение

Так как $$EA = EB$$ , периметр $$BEC$$ равен $$BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC$$ . Значит, $$AC = 20 - 8 = 12$$ см.

Ответ: 12 см

Сложный

Углы при точке пересечения

Условие

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$ внутри треугольника, $\angle AOB = 140^\circ$ . Найдите угол $$OAB$$ .

Дано

$$O$$ — точка пересечения серединных перпендикуляров
$\angle AOB = 140^\circ$

Найти

$\angle OAB$

Решение

$$OA = OB$$ , поэтому треугольник $$AOB$$ равнобедренный и углы при основании $$AB$$ равны: $\angle OAB = (180^\circ - 140^\circ) : 2 = 20^\circ$ .

Ответ: 20°

Типичные ошибки

Считают серединным перпендикуляром любую прямую через середину

Почему неверно

Через середину отрезка проходит бесконечно много прямых, но равноудалены от концов точки только одной из них — перпендикулярной отрезку.

Как правильно

Проверяйте оба условия: прямая проходит через середину и образует с отрезком прямой угол.

Доказывают только половину ГМТ

Почему неверно

Из того, что точки прямой равноудалены от концов, ещё не следует, что других таких точек нет. Без обратной теоремы нельзя сказать, что искомая точка лежит на этой прямой.

Как правильно

Помните обе части: точки прямой обладают свойством, и все точки со свойством лежат на прямой. В задачах на построение используется именно вторая часть.

Путают, от чего равноудалена точка пересечения

Почему неверно

Точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин, а не от сторон. От сторон равноудалена точка пересечения биссектрис.

Как правильно

Перпендикуляры строят к сторонам, но равные отрезки идут к вершинам: $$OA = OB = OC$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, MA = 9 см. Найдите MB.

Подсказка

Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра?

Решение

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому $$MB = MA = 9$$ см.

Ответ

9 см

База Задача 2

Точка M не лежит на прямой AB, MA = MB = 5 см, O — середина отрезка AB. Найдите угол MOA.

Подсказка

На какой прямой лежит точка, равноудалённая от концов отрезка?

Решение

Точка $$M$$ равноудалена от концов отрезка $$AB$$ , значит, она лежит на серединном перпендикуляре к нему. Этот перпендикуляр проходит через середину $$O$$ , поэтому $MO \perp AB$ и $\angle MOA = 90^\circ$ .

Ответ

90°

Средний Задача 3

Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D. AB = 7 см, BC = 10 см. Найдите периметр треугольника ABD.

Подсказка

Замените AD равным ему отрезком.

Решение

Точка $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$ , поэтому $$AD = DC$$ . Периметр $$ABD$$ равен $$AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC = 7 + 10 = 17$$ см.

Ответ

17 см

Средний Задача 4

В треугольнике ABC угол A равен 40°. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает сторону AC в точке D. Найдите угол ABD.

Подсказка

Какой треугольник получился — ABD?

Решение

Точка $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$ , поэтому $$DA = DB$$ . Треугольник $$ABD$$ равнобедренный с основанием $$AB$$ , углы при основании равны: $\angle ABD = \angle BAD = 40^\circ$ .

Ответ

40°

Сложный Задача 5

Серединные перпендикуляры к сторонам остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. ∠OAB = 25°, ∠OBC = 35°. Найдите угол OCA.

Подсказка

Точка O равноудалена от всех вершин. Сколько равнобедренных треугольников получилось?

Решение

$$OA = OB = OC$$ , поэтому треугольники $$OAB$$ , $$OBC$$ , $$OCA$$ равнобедренные: $\angle OBA = 25^\circ$ , $\angle OCB = 35^\circ$ , $\angle OAC = \angle OCA = x$ . Сумма углов треугольника $$ABC$$ : $2 \cdot 25^\circ + 2 \cdot 35^\circ + 2x = 180^\circ$ , откуда $x = 30^\circ$ .

Ответ

30°

Сложный Задача 6

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, лежащей на стороне AB. Докажите, что угол C прямой.

Подсказка

Рассмотрите треугольники AOC и BOC.

Решение

Дано: $$O$$ — точка пересечения серединных перпендикуляров, $O \in AB$ . Доказать: $\angle C = 90^\circ$ .

Точка $$O$$ равноудалена от вершин: $$OA = OB = OC$$ . Треугольники $$AOC$$ и $$BOC$$ равнобедренные, поэтому $\angle OCA = \angle A$ и $\angle OCB = \angle B$ . Значит, $\angle C = \angle A + \angle B$ . Так как $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ , получаем $2\angle C = 180^\circ$ , $\angle C = 90^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано: ∠C = 90°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Поставьте на лист две точки и сложите лист так, чтобы точки совпали. Линия сгиба — серединный перпендикуляр. Отметьте на сгибе любую точку и линейкой измерьте расстояния до двух точек — они равны. Затем проверьте точку не на сгибе — расстояния разные.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие два условия задают серединный перпендикуляр? 2) Почему точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре? 3) От чего равноудалена точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника?

На что обратить внимание. Ребёнок должен видеть равнобедренный треугольник с вершиной на серединном перпендикуляре — на этом держатся почти все задачи темы.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 40	333, 334