Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 399

Задача 1

Условие (кратко)

Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BM$$ — медиана, $$O$$ — центр описанной окружности, $$O$$ лежит на $$BM$$ . Доказать: $\triangle ABC$ равнобедренный или прямоугольный.

Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре $$m$$ к стороне $$AC$$ , а он проходит через середину $$M$$ этой стороны.

Пусть $O \ne M$ . Прямая $$m$$ и прямая $$BM$$ проходят через две различные точки $$O$$ и $$M$$ , поэтому совпадают. Тогда вершина $$B$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$ , значит, $$BA = BC$$ — треугольник равнобедренный.
Пусть $$O = M$$ . Тогда $$MA = MB = MC$$ (радиусы). Треугольники $$AMB$$ и $$CMB$$ равнобедренные: $\angle A = \angle ABM$ , $\angle C = \angle CBM$ . Значит, $\angle B = \angle A + \angle C$ , а так как $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ , получаем $2\angle B = 180^\circ$ , $\angle B = 90^\circ$ — треугольник прямоугольный.

Ответ

Утверждение доказано, если O ≠ M, то BA = BC, а если O — середина AC, то ∠B = 90°

Почему так

Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне, а этот перпендикуляр проходит через основание медианы.

Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).