Какие утверждения верны?

Центр описанной окружности равноудалён от вершин треугольника

В треугольник можно вписать две разные окружности

Где лежит центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника?

Вне треугольника

В середине самой длинной стороны

В вершине тупого угла

Вписанная и описанная окружности треугольника

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Коротко о главном

Окружность вписана в треугольник, если касается всех его сторон; её центр — точка пересечения биссектрис. Окружность описана около треугольника, если проходит через все его вершины; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Обе окружности есть у любого треугольника, и каждая — единственная.

OK = OL = OM = r, \qquad OA = OB = OC = R

Подробное объяснение

Нужно вырезать из треугольного листа фанеры самый большой круг — где поставить ножку циркуля? А если три дома стоят треугольником и нужно найти место для колодца, одинаково далёкое от всех трёх? Первая задача — про вписанную окружность, вторая — про описанную.

Касательный отрезок и окружность, вписанная в угол

Отрезок или луч называют касательным к окружности, если он лежит на касательной прямой и содержит точку касания.

Окружность вписана в угол, если касается обеих его сторон. Радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам и равны, поэтому центр равноудалён от сторон угла и лежит на его биссектрисе.

Вписанная окружность

Если все стороны треугольника касаются окружности, окружность называется вписанной, а треугольник — описанным около неё.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Почему: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $$O$$ , и она равноудалена от всех трёх сторон. Опустим из $$O$$ перпендикуляры $$OK$$ , $$OL$$ , $$OM$$ на стороны — они равны. Окружность с центром $$O$$ радиуса $$OK$$ проходит через $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , а стороны перпендикулярны радиусам в этих точках — значит, касаются окружности.

Такая окружность только одна: центр любой вписанной окружности равноудалён от сторон, то есть совпадает с $$O$$ , а радиус равен расстоянию от $$O$$ до сторон. Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.

Слева в треугольник ABC вписана окружность с центром O на пересечении биссектрис, радиусы OK, OL, OM перпендикулярны сторонам. Справа окружность с центром O на пересечении серединных перпендикуляров проходит через A, B, C. — Центр вписанной окружности равноудалён от сторон, центр описанной — от вершин.

Описанная окружность

Если все вершины треугольника лежат на окружности, окружность называется описанной, а треугольник — вписанным в неё.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Почему: серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке $$O$$ , равноудалённой от вершин: $$OA = OB = OC$$ . Окружность с центром $$O$$ радиуса $$OA$$ проходит через все три вершины. Другой такой окружности нет — её центр тоже был бы равноудалён от вершин и совпал бы с $$O$$ .

Где окажется центр, зависит от вида треугольника:

у остроугольного — внутри;
у прямоугольного — в середине гипотенузы (медиана к гипотенузе равна её половине), а гипотенуза — диаметр;
у тупоугольного — снаружи, за самой длинной стороной.

Три треугольника с описанными окружностями. У остроугольного центр O внутри треугольника, у прямоугольного — в середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи, за самой длинной стороной. — Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника.

Отрезки касательных из вершин

Вписанная окружность делит каждую сторону на два отрезка касательных. Отрезки касательных из одной вершины равны, поэтому у каждой вершины «свой» отрезок: $$x$$ у $$A$$ , $$y$$ у $$B$$ , $$z$$ у $$C$$ . Тогда $$AB = x + y$$ , $$BC = y + z$$ , $$CA = z + x$$ .

В прямоугольном треугольнике отрезки из вершины прямого угла равны радиусу $$r$$ . Отсюда удобная формула: сумма катетов равна гипотенузе плюс диаметр вписанной окружности, $$a + b = c + 2r$$ .

Как решать задачи

Определите, какая окружность: вписанная (касается сторон) или описанная (проходит через вершины).
Для вписанной: центр — на биссектрисах, радиусы в точки касания перпендикулярны сторонам, отрезки касательных из одной вершины равны.
Для описанной: центр — на серединных перпендикулярах, $$OA = OB = OC$$ , треугольники $$AOB$$ , $$BOC$$ , $$COA$$ равнобедренные.
В прямоугольном треугольнике сразу используйте: $$R$$ — половина гипотенузы, $$2r = a + b - c$$ .
Чтобы построить окружность, достаточно двух биссектрис (или двух серединных перпендикуляров) — третья пройдёт через ту же точку.

Разобранные примеры

База

Радиус описанной окружности

Условие

В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $30^\circ$ , а меньший катет — 7 см. Найдите радиус описанной окружности.

Дано

$\angle C = 90^\circ$
$\angle A = 30^\circ$
$$BC = 7$$ см

Найти

$$R$$

Решение

Катет $$BC$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому гипотенуза вдвое больше: $$AB = 14$$ см. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, $R = \dfrac{AB}{2} = 7$ см.

Ответ: R = 7 см

Средний

Радиус вписанной окружности

Условие

Стороны прямоугольного треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Дано

катеты $$a = 9$$ см
$$b = 12$$ см
гипотенуза $$c = 15$$ см

Найти

$$r$$

Решение

Отрезки касательных из вершины прямого угла равны $$r$$ , а из двух других вершин вместе дают гипотенузу. Поэтому $$a + b = c + 2r$$ : $$9 + 12 = 15 + 2r$$ , $$2r = 6$$ , $$r = 3$$ см.

Ответ: r = 3 см

Сложный

Отрезки касательных в произвольном треугольнике

Условие

В треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB = 7$$ см, $$BC = 8$$ см, $$CA = 9$$ см. На какие отрезки точки касания вписанной окружности делят стороны?

Дано

$$AB = 7$$ см
$$BC = 8$$ см
$$CA = 9$$ см

Найти

отрезки касательных $$x$$
$$y$$
$$z$$ из вершин $$A$$
$$B$$
$$C$$

Решение

Из равенства отрезков касательных: $$x + y = 7$$ , $$y + z = 8$$ , $$z + x = 9$$ . Сложим все три равенства: $$2(x + y + z) = 24$$ , значит, $$x + y + z = 12$$ . Вычитаем по очереди: $$x = 12 - 8 = 4$$ см, $$y = 12 - 9 = 3$$ см, $$z = 12 - 7 = 5$$ см. Проверка: $$4 + 3 = 7$$ , $$3 + 5 = 8$$ , $$5 + 4 = 9$$ .

Ответ: AB делится на 4 см и 3 см, BC — на 3 см и 5 см, CA — на 5 см и 4 см (считая от A, B и C)

Типичные ошибки

Путают, на каких линиях лежат центры

Почему неверно

Центр вписанной окружности ищут на серединных перпендикулярах, а описанной — на биссектрисах (или на медианах). Тогда получается точка, не равноудалённая ни от сторон, ни от вершин.

Как правильно

Вписанная касается сторон — нужна точка, равноудалённая от сторон, это пересечение биссектрис. Описанная проходит через вершины — нужна точка, равноудалённая от вершин, это пересечение серединных перпендикуляров.

Считают, что центр описанной окружности всегда внутри треугольника

Почему неверно

Так бывает только у остроугольного треугольника. У тупоугольного центр выходит наружу, у прямоугольного — лежит на гипотенузе.

Как правильно

Сначала определите вид треугольника по углам. Чертёж делайте с запасом места за самой длинной стороной, если треугольник тупоугольный.

Радиус вписанной окружности меряют до вершины

Почему неверно

Отрезок от центра вписанной окружности до вершины длиннее радиуса: вершина лежит вне окружности.

Как правильно

Радиус вписанной окружности — перпендикуляр из центра к стороне, он идёт в точку касания.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Подсказка

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника?

Решение

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а гипотенуза — диаметр. Поэтому $R = \dfrac{13}{2} = 6{,}5$ см.

Ответ

6,5 см

База Задача 2

Окружность вписана в угол 60° с вершиной A. Расстояние от A до центра окружности равно 14 см. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе.

Решение

Пусть $$O$$ — центр, $$K$$ — точка касания на одной из сторон. $OK \perp AK$ , а $$AO$$ — биссектриса, поэтому $\angle OAK = 30^\circ$ . Катет $$OK$$ лежит против угла $30^\circ$ и равен половине гипотенузы: $OK = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ

7 см

Средний Задача 3

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см, гипотенуза — 13 см. Найдите радиус вписанной окружности.

Подсказка

Из вершины прямого угла отрезки касательных равны радиусу.

Решение

Отрезки касательных из вершины прямого угла равны $$r$$ , а отрезки из двух других вершин в сумме дают гипотенузу. Поэтому $$5 + 12 = 13 + 2r$$ , откуда $$2r = 4$$ и $$r = 2$$ см.

Ответ

2 см

Средний Задача 4

В треугольнике ABC стороны AB = 10 см, BC = 12 см, AC = 8 см. Вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Найдите BK.

Подсказка

Обозначьте отрезки касательных из вершин A, B, C буквами x, y, z.

Решение

Пусть отрезки касательных из $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ равны $$x$$ , $$y$$ , $$z$$ . Тогда $$x + y = 10$$ , $$y + z = 12$$ , $$x + z = 8$$ . Сложим: $$2(x + y + z) = 30$$ , $$x + y + z = 15$$ . Отсюда $$y = 15 - 8 = 7$$ см, то есть $$BK = 7$$ см.

Ответ

BK = 7 см

Сложный Задача 5

Вписанная окружность касается боковой стороны равнобедренного треугольника в точке, которая делит её на отрезки 5 см (от вершины) и 3 см (от основания). Найдите периметр треугольника.

Подсказка

Отрезки касательных из каждой вершины основания равны 3 см.

Решение

Боковая сторона равна $$5 + 3 = 8$$ см. Из каждой вершины основания отрезки касательных равны 3 см — и на боковой стороне, и на основании. Поэтому основание $$3 + 3 = 6$$ см. Периметр $$8 + 8 + 6 = 22$$ см.

Ответ

22 см

Сложный Задача 6

Центр O описанной окружности лежит внутри треугольника ABC, ∠OAB = 25°, ∠OBC = 35°, ∠OCA = 30°. Найдите угол C треугольника.

Подсказка

Треугольники AOB, BOC и COA равнобедренные.

Решение

$$OA = OB = OC$$ , поэтому треугольники $$AOB$$ , $$BOC$$ , $$COA$$ равнобедренные: $\angle OBA = 25^\circ$ , $\angle OCB = 35^\circ$ , $\angle OAC = 30^\circ$ . Угол $$C$$ состоит из углов $$OCB$$ и $$OCA$$ : $\angle C = 35^\circ + 30^\circ = 65^\circ$ . Проверка: $\angle A = 55^\circ$ , $\angle B = 60^\circ$ , сумма $180^\circ$ .

Ответ

∠C = 65°

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги треугольник и сложите его так, чтобы совместились две стороны, — линия сгиба будет биссектрисой угла. Сделайте так для двух углов: точка пересечения сгибов — центр самого большого круга, который поместится в треугольник. Затем сложите треугольник так, чтобы совместились две вершины, — сгиб будет серединным перпендикуляром; пересечение двух таких сгибов — центр окружности через все вершины. Проверьте циркулем.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем вписанная окружность отличается от описанной? 2) Почему центр вписанной окружности лежит на биссектрисах? 3) Где центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?

На что обратить внимание. Ребёнок должен связывать «касается сторон» с биссектрисами и «проходит через вершины» с серединными перпендикулярами, а не заучивать пары наугад. Полезно построить обе окружности циркулем и линейкой хотя бы для одного остроугольного и одного тупоугольного треугольника.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 43	347, 348, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373