Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 400

Задача 1

Условие (кратко)

В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O₁, и около него описана окружность с центром O₂. Докажите, что O₁ и O₂ лежат на серединном перпендикуляре к основанию.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AB = BC$$ , $$O_1$$ — центр вписанной окружности, $$O_2$$ — центр описанной окружности. Доказать: $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к $$AC$$ .

Пусть $$BH$$ — биссектриса угла $$B$$ . В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, поэтому прямая $$BH$$ — серединный перпендикуляр к $$AC$$ .
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, значит, $$O_1$$ лежит на биссектрисе $$BH$$ , то есть на серединном перпендикуляре к $$AC$$ .
Центр описанной окружности равноудалён от вершин: $$O_2A = O_2C$$ . Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Значит, и $$O_2$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$ .

Ответ

Утверждение доказано, оба центра лежат на прямой, содержащей биссектрису угла при вершине

Почему так

Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника совпадает с серединным перпендикуляром к основанию.

Подробнее — в теме «Вписанная и описанная окружности треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).