Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе V, задание 401

Задача 1

Условие (кратко)

Даны прямая a, точка A на ней и точка B вне её. Постройте окружность, проходящую через B и касающуюся прямой a в точке A.

Решение

Дано: прямая $$a$$ , $A \in a$ , $B \notin a$ . Построить: окружность через $$B$$ , касающуюся $$a$$ в точке $$A$$ .

Центр $$O$$ искомой окружности лежит на перпендикуляре к $$a$$ в точке $$A$$ (радиус перпендикулярен касательной) и на серединном перпендикуляре к $$AB$$ (так как $$OA = OB$$ ).

Построение:

Через точку $$A$$ проводим прямую $p \perp a$ .
Строим серединный перпендикуляр $$m$$ к отрезку $$AB$$ .
Точка пересечения $$p$$ и $$m$$ — центр $$O$$ .
Проводим окружность с центром $$O$$ радиусом $$OA$$ .

Прямые $$p$$ и $$m$$ пересекаются: иначе было бы $a \parallel AB$ , а эти прямые имеют общую точку $$A$$ и не совпадают. Окружность проходит через $$B$$ , так как $$OB = OA$$ , и касается прямой $$a$$ по признаку касательной: $a \perp OA$ в точке $$A$$ окружности. Решение единственное.

Ответ

Окружность с центром в точке пересечения перпендикуляра к a в точке A и серединного перпендикуляра к AB, решение одно

Почему так

Центр лежит на перпендикуляре к касательной в точке касания и на серединном перпендикуляре к хорде AB.

Подробнее — в теме «Касательная к окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).