Задача 1
Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Решение
Дано: \(a \parallel b\), точка \(M\) не лежит на \(a\) и \(b\). Построить: окружность через \(M\), касающуюся \(a\) и \(b\).
Центр искомой окружности равноудалён от \(a\) и \(b\), поэтому лежит на прямой \(c\), параллельной им и проходящей посередине между ними (задача 289), а радиус равен половине расстояния между прямыми.
Построение:
-
Через точку \(P \in a\) проводим перпендикуляр к \(a\), он пересекает \(b\) в точке \(Q\).
-
Строим середину \(R\) отрезка \(PQ\) и через неё прямую \(c \perp PQ\) (тогда \(c \parallel a\)). Радиус \(r = RP\).
-
Проводим окружность с центром \(M\) радиусом \(r\). Точки её пересечения с прямой \(c\) — центры \(O_1\), \(O_2\).
-
Проводим окружности с центрами \(O_1\), \(O_2\) радиусом \(r\).
Каждая из них проходит через \(M\) (\(O_1M = r\)) и касается \(a\) и \(b\), так как расстояние от центра до каждой прямой равно радиусу. Если \(M\) лежит между прямыми, расстояние от \(M\) до \(c\) меньше \(r\) — решений два. Если \(M\) лежит вне полосы, это расстояние больше \(r\) — решений нет.
Ответ
Центр окружности, касающейся двух параллельных прямых, лежит на прямой посередине между ними, а радиус равен половине расстояния между прямыми.
Подробнее — в теме «Касательная к окружности».