Задание 1

План исследования.

1. Вспомнить три признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. Любой новый признак доказывается сведением к ним.
2. Выбрать набор из трёх элементов, в который входит медиана, биссектриса или высота, и проверить, задаёт ли он треугольник однозначно.
3. Если задаёт — доказать признак. Удобный приём: найти внутри треугольника меньший треугольник, который равен по уже известному признаку, и из него получить недостающие стороны или углы.
4. Если не задаёт — построить контрпример: два разных треугольника с одинаковым набором элементов.
5. Каждый признак записать в банк: формулировка, рисунок, доказательство или контрпример.

Ниже — несколько признаков, которые стоит получить. Во всех треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) элементы с индексом 1 — соответствующие.

Признак 1: по стороне, медиане к ней и углу между ними. Пусть \(BC = B_1C_1\), медианы \(AM = A_1M_1\) и \(\angle AMB = \angle A_1M_1B_1\).

Доказательство. \(BM = \frac12 BC = \frac12 B_1C_1 = B_1M_1\). Треугольники \(ABM\) и \(A_1B_1M_1\) равны по двум сторонам и углу между ними, значит, \(AB = A_1B_1\). Углы \(AMC\) и \(A_1M_1C_1\) равны как смежные с равными углами, \(MC = M_1C_1\), поэтому \(\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1\) и \(AC = A_1C_1\). Тогда \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по трём сторонам.

Признак 2: по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне. Пусть \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(AM = A_1M_1\).

Доказательство (удвоение медианы). Продлим \(AM\) за точку \(M\) на отрезок \(MD = AM\). Треугольники \(AMB\) и \(DMC\) равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы при \(M\)), поэтому \(CD = AB\). В треугольнике \(ACD\) известны все стороны: \(AC\), \(CD = AB\), \(AD = 2AM\). Так же строим \(\triangle A_1C_1D_1\). Они равны по трём сторонам, значит, \(\angle CAM = \angle C_1A_1M_1\). Отсюда \(\triangle AMC = \triangle A_1M_1C_1\) (по двум сторонам и углу между ними), \(MC = M_1C_1\), тогда \(BC = 2MC = B_1C_1\) и треугольники равны по трём сторонам.

Признак 3: по углу, биссектрисе этого угла и прилежащей к углу стороне. Пусть \(\angle A = \angle A_1\), биссектрисы \(AL = A_1L_1\), \(AB = A_1B_1\).

Доказательство. \(\angle BAL = \frac12\angle A = \angle B_1A_1L_1\), поэтому \(\triangle ABL = \triangle A_1B_1L_1\) по двум сторонам и углу между ними, и \(\angle ALB = \angle A_1L_1B_1\). Смежные с ними углы \(ALC\) и \(A_1L_1C_1\) тоже равны. Треугольники \(ALC\) и \(A_1L_1C_1\) равны по стороне \(AL\) и двум прилежащим углам, значит, \(AC = A_1C_1\). Тогда исходные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Признак 4: по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне. Пусть \(BC = B_1C_1\), \(\angle B = \angle B_1\) (острые), высоты \(AH = A_1H_1\) к прямым \(BC\) и \(B_1C_1\).

Доказательство. Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\) равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому \(AB = A_1B_1\). Значит, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними. (Если угол \(B\) тупой, рассуждение то же, только высота падает на продолжение стороны и в треугольнике \(ABH\) острым будет угол, смежный с \(\angle B\).)

Признак 5: по углу, прилежащей стороне и сумме двух других сторон. Пусть \(\angle A = \angle A_1\), \(AC = A_1C_1\), \(AB + BC = A_1B_1 + B_1C_1\). Продлим \(AB\) за точку \(B\) на \(BK = BC\). Треугольник \(ACK\) задан двумя сторонами \(AC\), \(AK = AB + BC\) и углом \(A\) между ними, поэтому треугольники \(ACK\) и \(A_1C_1K_1\) равны. Из их равенства \(CK = C_1K_1\) и \(\angle K = \angle K_1\). Треугольник \(BCK\) равнобедренный (\(BK = BC\)), поэтому \(\angle BCK = \angle K\); так же \(\angle B_1C_1K_1 = \angle K_1\). Треугольники \(BCK\) и \(B_1C_1K_1\) равны по стороне \(CK = C_1K_1\) и двум прилежащим углам, значит, \(BK = B_1K_1\) и \(AB = AK - BK = A_1B_1\). Тогда \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Важно: не всякий набор из трёх элементов годится. Две стороны и высота к третьей стороне треугольник не задают. Пример: проведём прямую, опустим на неё перпендикуляр \(AH\) и отметим на прямой точку \(B\). Окружность с центром \(A\) радиуса \(AC\) (больше \(AH\)) пересечёт прямую в двух точках \(C\) и \(C'\), симметричных относительно \(H\). У треугольников \(ABC\) и \(ABC'\) одинаковы стороны \(AB\), \(AC = AC'\) и высота \(AH\), но третьи стороны \(BC\) и \(BC'\) разные, так что треугольники не равны. Такие «ложные признаки» тоже полезно занести в банк с контрпримером.

Похожие наборы, которые можно исследовать дальше: две стороны и биссектриса угла между ними; сторона, высота к ней и медиана к ней; угол, высота и биссектриса из одной вершины.