Задача 1
Исследовательская задача (7 класс). Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треугольников.
Решение
Идея. Равнобедренный треугольник задаётся меньшим числом данных, чем произвольный: две боковые стороны равны, углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают. Поэтому для равенства двух равнобедренных треугольников достаточно двух соответственно равных элементов. Каждый признак доказывается сведением к общим признакам равенства треугольников.
Пусть \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) — равнобедренные треугольники с основаниями \(AC\) и \(A_1C_1\), \(BD\) и \(B_1D_1\) — их высоты (они же медианы и биссектрисы).
1. По основанию и боковой стороне. Тогда равны все три стороны — равенство по третьему признаку.
2. По боковой стороне и углу при вершине. \(AB = BC = A_1B_1 = B_1C_1\), \(\angle B = \angle B_1\) — первый признак (две стороны и угол между ними).
3. По основанию и углу при основании. \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\), и \(\angle C = \angle A = \angle A_1 = \angle C_1\) — второй признак (сторона и два прилежащих угла).
4. По боковой стороне и углу при основании. Углы при основании \(\angle A = \angle C = \angle A_1 = \angle C_1\). По сумме углов треугольника \(\angle B = 180^\circ - 2\angle A = \angle B_1\). Тогда \(AB = A_1B_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) — второй признак.
5. По основанию и высоте, проведённой к основанию. \(AD = \frac12 AC = A_1D_1\), \(BD = B_1D_1\), \(\angle ADB = \angle A_1D_1B_1 = 90^\circ\). Треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по двум катетам, значит, \(AB = A_1B_1\), и работает признак 1.
6. По боковой стороне и высоте к основанию. Прямоугольные треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по гипотенузе и катету, значит, \(AD = A_1D_1\), \(AC = A_1C_1\) — снова признак 1.
7. По углу при вершине и высоте к основанию. Высота \(BD\) — биссектриса, поэтому \(\angle ABD = \frac12\angle B = \angle A_1B_1D_1\). Треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по катету и прилежащему острому углу, откуда \(AB = A_1B_1\), и работает признак 2.
8. По углу при основании и высоте к основанию — аналогично: треугольники \(ABD\) и \(A_1B_1D_1\) равны по катету \(BD\) и противолежащему острому углу \(A\).
Что не годится. Одного элемента мало, а два угла (при основании и при вершине) задают только форму, но не размер: равнобедренные треугольники с углами \(40^\circ\), \(40^\circ\), \(100^\circ\) бывают сколь угодно большими. Значит, среди двух данных обязательно должен быть хотя бы один отрезок.
Ответ
У равнобедренного треугольника боковые стороны и углы при основании равны, а высота к основанию — медиана и биссектриса, поэтому хватает двух данных.
Подробнее — в теме «Равнобедренный треугольник и его свойства».