Геометрия 7 класс Атанасян, Бутузов и др., Исследовательские задачи, задание 3

Условие (кратко)

Исследовательская задача (7 класс). Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Решение

Идея. У двух прямоугольных треугольников уже равны прямые углы, поэтому для равенства нужны ещё два соответственно равных элемента, и хотя бы один из них — отрезок.

Основные признаки (следуют из общих признаков или доказываются в курсе).

По двум катетам — первый признак: катеты и прямой угол между ними.
По катету и прилежащему острому углу — второй признак: катет и два прилежащих к нему угла (прямой и острый).
По гипотенузе и острому углу. Второй острый угол равен $90^\circ$ минус данный, значит, гипотенуза и оба прилежащих угла равны — второй признак.
По катету и противолежащему острому углу. Прилежащий к катету острый угол равен $90^\circ$ минус данный — сводится к признаку 2.
По гипотенузе и катету. Приложим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ ( $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ , $$AB = A_1B_1$$ , $$AC = A_1C_1$$ ) равными катетами $$AC$$ и $$A_1C_1$$ так, чтобы $$B$$ и $$B_1$$ оказались по разные стороны от $$AC$$ . Углы $$ACB$$ и $$ACB_1$$ прямые, поэтому $$B$$ , $$C$$ , $$B_1$$ лежат на одной прямой. Треугольник $$ABB_1$$ равнобедренный ( $$AB = AB_1$$ ), $$AC$$ — его высота, а значит, и медиана: $$BC = CB_1$$ . Треугольники равны по трём сторонам.

Новые признаки с медианами, биссектрисами и высотами.

По катету и медиане, проведённой к другому катету. Пусть $$BC = B_1C_1$$ , медианы $$BM = B_1M_1$$ к катетам $$AC$$ и $$A_1C_1$$ . Треугольники $$BCM$$ и $$B_1C_1M_1$$ прямоугольные и равны по гипотенузе и катету, поэтому $$CM = C_1M_1$$ , $$AC = 2CM = A_1C_1$$ , и исходные треугольники равны по двум катетам.
По острому углу и биссектрисе этого угла. Пусть $\angle A = \angle A_1$ , биссектрисы $$AL = A_1L_1$$ ( $$L$$ на катете $$BC$$ ). Треугольники $$ACL$$ и $$A_1C_1L_1$$ равны по гипотенузе и острому углу $\frac12\angle A$ , поэтому $$AC = A_1C_1$$ , и треугольники равны по катету и прилежащему острому углу.
По катету и высоте, проведённой к гипотенузе. Пусть $$AC = A_1C_1$$ , высоты $$CH = C_1H_1$$ . Треугольники $$ACH$$ и $$A_1C_1H_1$$ равны по гипотенузе и катету, значит, $\angle A = \angle A_1$ , и исходные треугольники равны по катету и прилежащему острому углу.
По острому углу и высоте к гипотенузе. Из треугольника $$ACH$$ : катет $$CH$$ и противолежащий угол $$A$$ определяют его, поэтому $$AC = A_1C_1$$ — сводится к признаку 2.

Для исследования. Задают ли треугольник гипотенуза и медиана к ней? Нет: медиана к гипотенузе всегда равна её половине, так что это по сути один элемент. Такие наборы тоже полезно отметить в банке признаков.

Ответ

Ответ свободный; главное — прямоугольные треугольники равны по двум элементам, хотя бы один из которых отрезок: два катета, катет и угол, гипотенуза и угол, гипотенуза и катет, катет и медиана к другому катету и т. д.

Почему так

Прямые углы уже равны, поэтому новые признаки получают, находя внутри треугольника меньший прямоугольный треугольник, равный по уже известному признаку.

Подробнее — в теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников».

Задание 3

Задача 1