Задание 4

Связь признака и построения. Признак равенства говорит, что по данным элементам треугольник определяется однозначно. Значит, есть надежда его построить. Доказательство признака часто подсказывает построение: какой вспомогательный треугольник строить первым. В каждой задаче нужно указать шаги, обосновать их и выяснить, когда решение существует.

1. По стороне \(a\), медиане \(m\) к ней и углу \(\varphi\) между ними.

1. Отложим отрезок \(BC = a\), построим его середину \(M\) (серединный перпендикуляр).
2. От луча \(MB\) отложим угол \(\varphi\).
3. На стороне угла отложим \(MA = m\). Треугольник \(ABC\) — искомый: \(AM\) — медиана, угол \(AMB = \varphi\). Решение всегда существует и единственно.

2. По двум сторонам \(b\), \(c\) и медиане \(m\) к третьей стороне.

1. Построим треугольник \(ACD\) по трём сторонам: \(AC = b\), \(CD = c\), \(AD = 2m\).
2. Найдём середину \(M\) отрезка \(AD\).
3. На луче \(CM\) за точкой \(M\) отложим \(MB = CM\). Треугольник \(ABC\) — искомый: \(\triangle AMB = \triangle DMC\), поэтому \(AB = c\), а \(AM = m\) — медиана. Решение есть, если треугольник \(ACD\) существует: \(|b - c| < 2m < b + c\).

3. По углу \(A\), его биссектрисе \(l\) и прилежащей стороне \(c\).

1. Построим угол \(A\) и его биссектрису.
2. На одной стороне угла отложим \(AB = c\), на биссектрисе — \(AL = l\).
3. Проведём прямую \(BL\); точка её пересечения со второй стороной угла — вершина \(C\). Решение есть, если прямая \(BL\) пересекает вторую сторону угла (за точкой \(L\) от \(B\)). Если не пересекает, треугольника нет — это хороший пример для обсуждения.

4. По стороне \(a = BC\), прилежащему к ней острому углу \(B\) и высоте \(h\), проведённой к этой стороне.

1. Построим прямоугольный треугольник \(ABH\) по катету \(AH = h\) и противолежащему углу \(B\): проведём прямую, параллельную стороне угла на расстоянии \(h\); её пересечение со второй стороной угла — точка \(A\).
2. На стороне угла, к которой проведена высота, отложим \(BC = a\). Здесь \(h\) — высота из \(A\) к прямой \(BC\). Решение существует всегда.

5. Равнобедренный треугольник по основанию \(a\) и высоте \(h\). Отложим \(AC = a\), построим серединный перпендикуляр к \(AC\), на нём от середины отложим \(h\) — получим вершину \(B\).

6. Прямоугольный треугольник по катету \(a\) и медиане \(m\) к другому катету. Построим прямой угол \(C\), на одной стороне отложим \(CB = a\). Окружность с центром \(B\) радиуса \(m\) пересечёт вторую сторону в точке \(M\) (нужно \(m > a\)). На луче \(CM\) отложим \(CA = 2CM\).

Вывод исследования. Если признак верен, построение даёт единственный треугольник (с точностью до равенства); условия существования — это неравенства между данными. Если набор не задаёт треугольник однозначно (как две стороны и высота к третьей), построение даёт два разных ответа.