Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 2

Задача 1

Условие (кратко)

Комплексное задание 2 (7–8 класс). Из точки M окружности проведены хорды MA, MB (диаметр), MC, MD, MF; A рядом с B, дальше по дуге C, D, F. Не измеряя, запишите хорды в порядке убывания длин.

Решение

Дано

окружность с центром $$O$$
радиус $$R$$ ; хорда $$MB$$ проходит через $$O$$ ; точки $$A$$
$$C$$
$$D$$
$$F$$ лежат на дуге около $$B$$
и по рисунку угол $$BOX$$ растёт в порядке $$A$$
$$C$$
$$D$$
$$F$$ ( $$A$$ ближе всех к $$B$$
$$F$$ дальше всех)

Найти

порядок хорд по убыванию длин

1. Диаметр — самая длинная хорда. Для любой хорды $$MX$$ по неравенству треугольника $$MX < MO + OX = 2R = MB$$ .

2. Лемма. Если у треугольников $$OMX$$ и $$OMY$$ стороны $$OX = OY = R$$ и общая сторона $$OM$$ , а $\angle MOX > \angle MOY$ , то $$MX > MY$$ .

Доказательство. Пусть луч $$OY$$ проходит внутри угла $$MOX$$ . Биссектриса угла $$YOX$$ пересечёт отрезок $$MX$$ в точке $$K$$ . Треугольники $$OYK$$ и $$OXK$$ равны по двум сторонам и углу между ними ( $$OY = OX$$ , $$OK$$ общая, углы при $$O$$ равны), поэтому $$KY = KX$$ . Тогда $$MX = MK + KX = MK + KY > MY$$ по неравенству треугольника для $\triangle MKY$ .

3. Применение. Угол $$MOX$$ смежный с углом $$BOX$$ : $\angle MOX = 180^\circ - \angle BOX$ . Чем ближе точка $$X$$ к концу диаметра $$B$$ , тем меньше $\angle BOX$ и больше $\angle MOX$ , а значит, по лемме длиннее хорда $$MX$$ . Точка $$A$$ лежит по другую сторону от $$MB$$ , чем $$C$$ , $$D$$ , $$F$$ ; отразим её симметрично относительно прямой $$MB$$ в точку $$A'$$ — хорда не изменится, $$MA' = MA$$ , а $$A'$$ окажется ближе к $$B$$ , чем $$C$$ .

Порядок углов $\angle BOA < \angle BOC < \angle BOD < \angle BOF$ даёт $$MB > MA > MC > MD > MF$$ .

Короткое правило: из хорд с общим концом $$M$$ длиннее та, другой конец которой ближе к диаметрально противоположной точке $$B$$ .

Ответ

MB, MA, MC, MD, MF

Почему так

Диаметр — наибольшая хорда, а из хорд с общим концом длиннее та, у которой больше центральный угол, то есть второй конец ближе к концу диаметра.

Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

Комплексное задание 2 (7–8 класс). Дополните рисунок хордой с концом в точке M, которая короче любой из изображённых хорд MA, MB, MC, MD, MF.

Решение

Самая короткая из изображённых хорд — $$MF$$ (вопрос 1). Нужна хорда $$MK$$ , у которой центральный угол $$MOK$$ меньше угла $$MOF$$ , то есть точка $$K$$ лежит на дуге между $$F$$ и $$M$$ (на той дуге $$FM$$ , которая не содержит точку $$B$$ ).

Построение. Отметим на окружности любую точку $$K$$ между $$F$$ и $$M$$ и проведём хорду $$MK$$ .

Почему подходит. $\angle MOK < \angle MOF$ , так как луч $$OK$$ лежит внутри угла $$MOF$$ . По лемме из вопроса 1 (у треугольников $$OMK$$ и $$OMF$$ две стороны равны радиусу) $$MK < MF$$ , а $$MF$$ короче всех остальных хорд. Чем ближе $$K$$ к $$M$$ , тем короче хорда.

Ответ

Хорда MK, где K — любая точка дуги FM, не содержащей точку B

Почему так

Чем меньше центральный угол, опирающийся на хорду, тем она короче.

Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».

Задача 3

Условие (кратко)

Комплексное задание 2 (7–8 класс). Начертите хорду такой же длины, как MF, не используя измерение длины.

Решение

Способ 1 (симметрия относительно диаметра).

Из точки $$F$$ опустим перпендикуляр на прямую $$MB$$ ; пусть $$H$$ — его основание.
Продлим $$FH$$ за точку $$H$$ до пересечения с окружностью в точке $$F'$$ .
Хорда $$MF'$$ — искомая.

Обоснование. Треугольник $$OFF'$$ равнобедренный ( $$OF = OF' = R$$ ), $$OH$$ — его высота, значит, и медиана: $$FH = HF'$$ . Прямоугольные треугольники $$MHF$$ и $$MHF'$$ равны по двум катетам ( $$MH$$ общий), поэтому $$MF' = MF$$ .

Способ 2 (циркуль как переносчик отрезка). Раствором циркуля, равным $$MF$$ , из любой точки $$P$$ окружности сделаем засечку на окружности в точке $$Q$$ . Тогда $$PQ = MF$$ — длина перенесена циркулем, а не измерена линейкой. Если взять $$P = M$$ , получим ту же точку $$F'$$ , что в способе 1.

Способ 3 (поворот). Хорды, на которые опираются равные центральные углы, равны: отложим от любого луча $$OP$$ угол, равный $\angle MOF$ (построением с циркулем), и соединим $$P$$ с точкой на второй стороне угла. Треугольники $$OPQ$$ и $$OMF$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

Например, хорда MF′, где F′ — точка, симметричная F относительно прямой MB

Почему так

Равные хорды получаются отражением относительно диаметра или из равенства треугольников с вершиной в центре окружности.

Подробнее — в теме «Диаметры и хорды окружности».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-7-atanasyan/kompleksnye-zadaniya/upr-2/