Задача 1
Условие (кратко)
Начертите пятиугольник (как на рис. 9) и разбейте его на треугольники так, чтобы каждый треугольник имел общую сторону с пятиугольником. Сколько треугольников может получиться? Какие ещё многоугольники получились?
Решение
Пусть пятиугольник \(ABCDE\).
- Проведём из одной вершины, например \(A\), отрезки \(AC\) и \(AD\). Получатся треугольники \(ABC\), \(ACD\), \(ADE\) — 3 треугольника, у каждого есть сторона пятиугольника (\(AB\) и \(BC\), \(CD\), \(DE\) и \(EA\)).
- Если провести отрезки из разных вершин, например \(AC\) и \(CE\), то средний треугольник \(ACE\) не будет иметь общей стороны с пятиугольником — такое разбиение не подходит.
- Можно отметить точку \(M\) на стороне \(CD\) и провести \(MA\), \(MB\), \(ME\): получатся 4 треугольника \(ABM\), \(BCM\), \(DEM\), \(AEM\) со сторонами пятиугольника \(AB\), \(BC\), \(DE\), \(EA\).
- Можно взять точку \(O\) внутри пятиугольника и соединить её со всеми вершинами: получится 5 треугольников \(OAB\), \(OBC\), \(OCD\), \(ODE\), \(OEA\), и у каждого есть сторона пятиугольника.
Кроме треугольников, на чертеже есть четырёхугольники из двух соседних треугольников: в случае 1 это \(ABCD\) и \(ACDE\).
Больше пяти треугольников быть не может: у каждого треугольника есть хотя бы одна сторона пятиугольника, одна сторона не может достаться двум треугольникам, а сторон всего пять.
Ответ
3 треугольника (отрезки из одной вершины), 4 (из точки на стороне) или 5 (из точки внутри); ещё получаются четырёхугольники, например ABCD и ACDE
Почему так
Отрезки, соединяющие вершины, делят многоугольник на части, а две соседние части вместе тоже образуют многоугольник.
Подробнее — в теме «Точки, прямые, отрезки».