Коротко о главном
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. Поэтому две различные прямые либо пересекаются ровно в одной точке, либо не имеют общих точек. Отрезок — часть прямой между двумя точками вместе с этими точками, из отрезков складываются ломаные и многоугольники.
Подробное объяснение
Натяните нитку между двумя гвоздиками — она ляжет по прямой. Сдвинуть её в сторону, не снимая с гвоздиков, нельзя. В этом и состоит главное свойство прямой.
Точки и прямые
Прямую на чертеже проводят по линейке, но рисуют только её часть: сама прямая бесконечно продолжается в обе стороны. Прямые обозначают малыми латинскими буквами (\(a\), \(b\), \(m\)), точки — большими (\(A\), \(B\), \(C\)). Прямую, на которой отмечены точки \(A\) и \(B\), можно назвать \(AB\) или \(BA\).
Если точка \(A\) лежит на прямой \(a\), пишут \(A \in a\). Если точка \(B\) не лежит на прямой \(a\), пишут \(B \notin a\).
Главное свойство: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Две прямые
Если у двух прямых есть общая точка, говорят, что они пересекаются. Больше одной общей точки у двух различных прямых быть не может: если бы общих точек было две, через них проходили бы две разные прямые, а такая прямая только одна. Итак, две прямые либо имеют одну общую точку, либо ни одной.
Отрезок
Отрезок \(AB\) — часть прямой, ограниченная точками \(A\) и \(B\). Эти точки — концы отрезка, и они сами ему принадлежат. Отрезок \(AB\) и отрезок \(BA\) — одно и то же.
Ломаная и многоугольник
Если соединять отрезки один за другим, получится ломаная. Отрезки называются звеньями, их концы — вершинами. Соседние звенья не лежат на одной прямой (иначе это было бы одно звено). Если конец последнего звена совпадает с началом первого, ломаная замкнутая.
Замкнутая ломаная, у которой несмежные звенья не имеют общих точек, — многоугольник. Его звенья называют сторонами. Многоугольник с \(n\) вершинами — \(n\)-угольник, у него \(n\) сторон. Многоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области. Многоугольником называют и фигуру из сторон вместе с внутренней областью.
Провешивание прямой
Как провести прямую на поле, где нет такой длинной линейки? Втыкают две вехи — шесты высотой около 2 м — в точках \(A\) и \(B\). Третью веху ставят так, чтобы наблюдатель у вехи \(A\) видел: её закрывают вехи \(A\) и \(B\). Следующую ставят так, чтобы её закрывали две предыдущие, и так далее. Все вехи окажутся на одной прямой. Так прокладывают просеки, дороги и линии электропередач. На бумаге тем же приёмом чертят отрезок длиннее линейки: линейку передвигают, совмещая её с уже проведённой частью.
Как решать задачи
- Сделайте чертёж и подпишите все точки и прямые.
- Если надо посчитать прямые или отрезки, перебирайте пары точек по порядку: \(AB, AC, AD\), потом \(BC, BD\) и т. д. Каждая пара — один отрезок.
- Если три точки лежат на одной прямой, все пары из них дают одну и ту же прямую — не считайте её трижды.
- В задачах «рассмотрите все случаи» нарисуйте каждое возможное расположение отдельно.
Разобранные примеры
Сколько отрезков на прямой
На прямой отмечены 5 точек. Сколько всего отрезков с концами в отмеченных точках?
Обозначим точки по порядку \(A, B, C, D, E\). Перебираем пары: от \(A\) — \(AB, AC, AD, AE\) (4 отрезка), от \(B\) к точкам правее — \(BC, BD, BE\) (3), от \(C\) — \(CD, CE\) (2), от \(D\) — \(DE\) (1).
Всего \(4 + 3 + 2 + 1 = 10\).
Сколько общих точек у трёх прямых
На плоскости проведены три различные прямые. Сколько точек пересечения может получиться? Рассмотрите все случаи.
Каждая пара прямых пересекается не более чем в одной точке, а пар три — значит, точек не больше трёх.
- Ни одна пара не пересекается (все три прямые идут, не встречаясь, как полосы на тетради) — 0 точек.
- Две прямые не пересекаются, третья пересекает обе — 2 точки.
- Все три проходят через одну точку — 1 точка.
- Каждые две пересекаются в разных точках — 3 точки (получается треугольник).
Других случаев нет: если пересекаются хотя бы две прямые, а третья не проходит через их общую точку, то она пересекает одну или обе из них.
Прямая через три точки
Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на прямой \(m\), а точка \(D\) на ней не лежит. Может ли прямая \(AD\) проходить через точку \(B\)?
Предположим, что прямая \(AD\) проходит через \(B\). Тогда через точки \(A\) и \(B\) проходят две прямые: \(m\) и \(AD\). Но через две точки проходит только одна прямая, значит, \(AD\) совпадает с \(m\). Тогда \(D \in m\) — а по условию \(D \notin m\). Противоречие.
Типичные ошибки
На прямой с точками \(A, B, C\) называют только \(AB\) и \(BC\) и отвечают «2 отрезка». Но \(AC\) — тоже отрезок с концами в отмеченных точках.
Перебирайте все пары точек по порядку. Для трёх точек пар три: \(AB\), \(AC\), \(BC\).
На вопрос «Лежит ли точка \(B\) на отрезке \(AB\)?» отвечают «нет, она на краю». Но отрезок по определению содержит свои концы.
Отрезок \(AB\) — это точки \(A\), \(B\) и все точки прямой между ними. Концы — часть отрезка.
Замкнутая ломаная может пересекать сама себя, как «восьмёрка» или «бантик». Такая фигура не многоугольник.
Проверьте, что несмежные звенья не имеют общих точек. Только тогда замкнутая ломаная — многоугольник.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Сколько прямых можно провести через две различные точки?
Показать ответ
Ответ: Б) Ровно одну
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: Б) Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо не имеют общих точек; В) Концы отрезка принадлежат этому отрезку
Две прямые не могут иметь больше одной общей точки. Отрезок — часть прямой между двумя точками вместе с самими этими точками.
-
На прямой отмечены три точки. Сколько отрезков с концами в этих точках получилось?
Показать ответ
Ответ: 3
Для точек \(A, B, C\) это отрезки \(AB\), \(BC\) и \(AC\) — длинный отрезок тоже считается.
-
Точка \(K\) не лежит на прямой \(m\). Как это записать?
Показать ответ
Ответ: Б) K ∉ m
Знак \(\in\) означает «лежит на», перечёркнутый знак \(\notin\) — «не лежит на». Первой пишется точка, потом прямая.
-
Замкнутая ломаная, у которой несмежные звенья не имеют общих точек, называется…
Показать ответ
Ответ: В) Многоугольником
Это определение многоугольника, звенья ломаной становятся его сторонами.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
На прямой отмечены четыре точки. Сколько всего отрезков с концами в этих точках?
Подсказка
Каждый отрезок задаётся парой точек. Перечислите пары, начиная с первой точки.
Решение
Обозначим точки по порядку \(A, B, C, D\). Отрезки: \(AB, AC, AD, BC, BD, CD\) — их 6.
Короче: из каждой из 4 точек выходит 3 отрезка, но каждый отрезок посчитан дважды, поэтому \(\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\).
Ответ
Незамкнутая ломаная состоит из 7 звеньев. Сколько у неё вершин?
Подсказка
Нарисуйте ломаную из 1, 2, 3 звеньев и посчитайте вершины.
Решение
У одного звена 2 вершины, каждое следующее звено добавляет одну новую вершину. Значит, вершин на одну больше, чем звеньев: \(7 + 1 = 8\).
Ответ
Отмечено 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки провели прямую. Сколько получилось прямых?
Подсказка
Через две точки проходит ровно одна прямая, а одна прямая не может пройти через три отмеченные точки.
Решение
Каждая прямая проходит ровно через две отмеченные точки, поэтому прямых столько же, сколько пар точек.
Из каждой точки к остальным 4 точкам — 4 пары, всего \(5 \cdot 4 = 20\), но каждая пара посчитана дважды: \(\dfrac{20}{2} = 10\).
Ответ
Может ли замкнутая ломаная состоять из двух звеньев? Объясните.
Подсказка
Попробуйте вернуться в начальную точку за два звена.
Решение
Пусть ломаная \(ABC\) замкнута, то есть точка \(C\) совпадает с \(A\). Тогда звенья \(AB\) и \(BA\) — один и тот же отрезок, и оба лежат на прямой \(AB\). Но соседние звенья ломаной не должны лежать на одной прямой. Значит, так нельзя. Самая «короткая» замкнутая ломаная — из трёх звеньев, это треугольник.
Ответ
Проведены четыре прямые, каждые две из них пересекаются, и никакие три не проходят через одну точку. Сколько точек пересечения?
Подсказка
Каждая точка пересечения принадлежит ровно двум прямым.
Решение
Так как никакие три прямые не проходят через одну точку, каждая точка пересечения соответствует ровно одной паре прямых, и разные пары дают разные точки.
Пар из четырёх прямых: \(\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\). Значит, точек пересечения 6.
Ответ
Прямые \(a\) и \(b\) проходят через точки \(M\) и \(N\). Что можно сказать о прямых \(a\) и \(b\)? Обоснуйте.
Подсказка
Сколько прямых можно провести через две точки?
Решение
Через две точки \(M\) и \(N\) можно провести только одну прямую. И \(a\), и \(b\) проходят через эти точки, поэтому это одна и та же прямая — прямые совпадают. Отсюда же следует: две различные прямые не могут иметь двух общих точек.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите нитку и две кнопки на пробковой доске: натянутая нитка между кнопками — прямая (точнее, отрезок), и положить её иначе нельзя. Покажите, что две натянутые нитки могут перекреститься только в одном месте. Потом выложите из спичек ломаную, замкните её — получится многоугольник, а если звенья пересеклись — уже нет.
Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько прямых проходит через две точки? 2) Может ли у двух разных прямых быть две общие точки — почему? 3) Чем отличается замкнутая ломаная от многоугольника?
На что обратить внимание. Ребёнок должен свободно пользоваться обозначениями (\(A \in a\), \(B \notin a\), отрезок \(AB\)) и при подсчёте отрезков не пропускать длинные. Привычка рисовать аккуратный чертёж с подписями пригодится во всём курсе геометрии.