Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 11

Упражнение 70 к § 11

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке 47 две прямые пересекаются, углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные. Найти углы 1, 2, 3, 4, если ∠2 + ∠4 = 220°.

Решение

Дано

Найти

Углы 2 и 4 вертикальные, значит, равны: $\angle 2 = \angle 4 = 220^\circ : 2 = 110^\circ$ .
Угол 1 смежный с углом 2: $\angle 1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ , и $\angle 3 = \angle 1 = 70^\circ$ .

Ответ

∠2 = ∠4 = 110°, ∠1 = ∠3 = 70°

Почему так

Вертикальные углы равны, смежные дают в сумме 180°.

Условие (кратко)

На рисунке 47 две прямые пересекаются, углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные. Найти углы 1, 2, 3, 4, если 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4.

Решение

Дано

Найти

Пусть $\angle 1 = \angle 3 = x$ (вертикальные), тогда $\angle 2 = \angle 4 = 180^\circ - x$ (смежные с углом 1).
Условие: $3 \cdot 2x = 2(180^\circ - x)$ , то есть $3x = 180^\circ - x$ , $4x = 180^\circ$ , $x = 45^\circ$ .
$\angle 2 = \angle 4 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ .

Ответ

∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°

Почему так

Вертикальные углы равны, смежные дают в сумме 180° — получается уравнение с одним неизвестным.

Условие (кратко)

На рисунке 47 две прямые пересекаются, углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные. Найти углы 1, 2, 3, 4, если ∠2 − ∠1 = 30°.

Решение

Дано

Найти

Углы 1 и 2 смежные: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ .
Пусть $\angle 1 = x$ , тогда $\angle 2 = x + 30^\circ$ ; $2x + 30^\circ = 180^\circ$ , $x = 75^\circ$ .
$\angle 2 = 105^\circ$ . Вертикальные углы равны: $\angle 3 = 75^\circ$ , $\angle 4 = 105^\circ$ .

Ответ

∠1 = ∠3 = 75°, ∠2 = ∠4 = 105°

Почему так

Смежные углы дают в сумме 180°, а их разность известна; вертикальные углы равны.