Задача 1
Условие (кратко)
Через точку A вне прямой a проведены три прямые, пересекающие прямую a. Доказать, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к a.
Решение
Дано: точка A не лежит на прямой a; через A проведены три различные прямые, пересекающие a. Доказать: хотя бы две из них не перпендикулярны к a.
- Предположим противное: перпендикулярны к a хотя бы две из трёх прямых, например b и c.
- Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются, значит, у b и c нет общих точек.
- Но обе прямые проходят через точку A — противоречие.
- Значит, перпендикулярной к a может быть не больше одной из трёх прямых, а остальные две (или все три) к a не перпендикулярны.
Ответ
Утверждение доказано — к прямой a перпендикулярна не больше чем одна из трёх прямых
Почему так
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются, а все три прямые проходят через точку A.
Подробнее — в теме «Перпендикулярные прямые».