Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 15

Упражнение 101 к § 15

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке отрезки AD и BC пересекаются в точке O, OA = OD, OB = OC, ∠1 = ∠ABO = 74°, ∠2 = ∠OCA = 36°. Доказать, что треугольники AOB и DOC равны.

Решение

Дано: отрезки AD и BC пересекаются в точке O, $$OA = OD$$ , $$OB = OC$$ . Доказать: $\triangle AOB = \triangle DOC$ .

$$OA = OD$$ и $$OB = OC$$ по условию.
$\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные.
Угол AOB лежит между сторонами OA и OB, угол DOC — между OD и OC. По первому признаку $\triangle AOB = \triangle DOC$ .

Ответ

Утверждение доказано — △AOB = △DOC

Почему так

Две пары равных сторон и вертикальные углы между ними — первый признак.

Условие (кратко)

По тому же рисунку (OA = OD, OB = OC, ∠ABO = 74°, ∠OCA = 36°) найти угол ACD.

Решение

Дано

Найти

В равных треугольниках AOB и DOC угол OBA лежит против стороны OA, угол OCD — против равной ей стороны OD. Значит, $\angle OCD = \angle OBA = 74^\circ$ .
Луч CO (он идёт по отрезку CB) лежит внутри угла ACD, поэтому $\angle ACD = \angle ACO + \angle OCD = 36^\circ + 74^\circ = 110^\circ$ .

Ответ

∠ACD = 110°

Почему так

Из равенства треугольников находим угол OCD, а угол ACD складываем из двух частей.