Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 15

Упражнение 102 к § 15

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Доказать, что △ABC = △CDA.

Решение

Дано: отрезки AC и BD пересекаются в точке O, $$AO = OC$$ , $$BO = OD$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle CDA$ .

Треугольники AOB и COD: $$AO = CO$$ , $$BO = DO$$ , $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. По первому признаку $\triangle AOB = \triangle COD$ .
Отсюда $$AB = CD$$ , а $\angle OAB = \angle OCD$ — они лежат против равных сторон OB и OD. Значит, $\angle BAC = \angle DCA$ .
Треугольники ABC и CDA: $$AB = CD$$ , AC — общая сторона, $\angle BAC = \angle DCA$ — углы между этими сторонами. По первому признаку $\triangle ABC = \triangle CDA$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ABC = △CDA

Почему так

Первый признак применяется дважды — сначала к треугольникам с вершиной в точке пересечения, затем к треугольникам ABC и CDA.