Задача 1
Условие (кратко)
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁, AP = A₁P₁. Доказать, что △BPC = △B₁P₁C₁.
Решение
Дано: \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\); P на AB, \(P_1\) на \(A_1B_1\), \(AP = A_1P_1\). Доказать: \(\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1\).
- Треугольники APC и \(A_1P_1C_1\): \(AP = A_1P_1\), \(AC = A_1C_1\), \(\angle PAC = \angle P_1A_1C_1\) (это углы A и \(A_1\)). По первому признаку \(\triangle APC = \triangle A_1P_1C_1\).
- Отсюда \(PC = P_1C_1\) и \(\angle APC = \angle A_1P_1C_1\).
- Углы BPC и APC смежные, углы \(B_1P_1C_1\) и \(A_1P_1C_1\) тоже смежные. Смежные с равными углами равны: \(\angle BPC = 180^\circ - \angle APC = \angle B_1P_1C_1\).
- \(BP = AB - AP = A_1B_1 - A_1P_1 = B_1P_1\).
- Треугольники BPC и \(B_1P_1C_1\): \(BP = B_1P_1\), \(PC = P_1C_1\) и равные углы между ними при вершинах P и \(P_1\). По первому признаку \(\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1\).
Ответ
Утверждение доказано — △BPC = △B₁P₁C₁
Почему так
Из равенства треугольников APC и A₁P₁C₁ получаем равные стороны PC и углы при P, затем снова применяем первый признак.
Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».