Задача 1
Условие (кратко)
На сторонах угла CAD отмечены точки B (на отрезке AC) и E (на отрезке AD), причём AC = AD и AB = AE. Доказать, что ∠CBD = ∠DEC.
Решение
Дано: B лежит на отрезке AC, E — на отрезке AD, \(AC = AD\), \(AB = AE\). Доказать: \(\angle CBD = \angle DEC\).
- Треугольники ABD и AEC: \(AB = AE\), \(AD = AC\) по условию, угол A у них общий и лежит между этими сторонами. По первому признаку \(\triangle ABD = \triangle AEC\).
- В этих треугольниках \(\angle ABD\) лежит против стороны AD, а \(\angle AEC\) — против равной ей стороны AC. Значит, \(\angle ABD = \angle AEC\).
- Угол CBD смежный с углом ABD (B лежит между A и C), угол DEC смежный с углом AEC (E лежит между A и D).
- Смежные с равными углами равны: \(\angle CBD = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - \angle AEC = \angle DEC\).
Ответ
Утверждение доказано — ∠CBD = ∠DEC
Почему так
Треугольники ABD и AEC равны по первому признаку, а искомые углы смежны с их равными углами.
Подробнее — в теме «Первый признак равенства треугольников».