Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 15

Упражнение 98 к § 15

Задача 1

Условие (кратко)

Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, которая является серединой каждого из них. Доказать, что треугольники ABC и EBD равны.

Решение

Дано: отрезки AE и DC пересекаются в точке B, $$AB = BE$$ , $$CB = BD$$ . Доказать: $\triangle ABC = \triangle EBD$ .

$$AB = EB$$ , так как B — середина отрезка AE.
$$CB = DB$$ , так как B — середина отрезка DC.
$\angle ABC = \angle EBD$ как вертикальные: лучи BE и BD — продолжения лучей BA и BC.
Угол ABC лежит между сторонами BA и BC, угол EBD — между сторонами BE и BD. По первому признаку $\triangle ABC = \triangle EBD$ .

Ответ

Утверждение доказано — △ABC = △EBD

Почему так

Две стороны равны как половины отрезков, углы между ними — как вертикальные, значит, работает первый признак.

Условие (кратко)

В условиях задачи (отрезки AE и DC делятся точкой B пополам) найти углы A и C треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

Решение

Дано

Найти

В равенстве $\triangle ABC = \triangle EBD$ вершина A соответствует E, B — B, C — D.
В равных треугольниках соответственные углы равны: $\angle A = \angle E = 42^\circ$ , $\angle C = \angle D = 47^\circ$ .

Проверка: угол A лежит против стороны BC, угол E — против стороны BD, а $$BC = BD$$ .

Ответ

∠A = 42°, ∠C = 47°

Почему так

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.