Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 16

Упражнение 110 к § 16

§ 16. Перпендикуляр к прямой · тема: Перпендикуляр к прямой

Задача 1

Условие (кратко)

Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a, перпендикуляры AB и CD к прямой a равны. Доказать, что ∠ABD = ∠CDB.

Решение

Дано: $$A$$ и $$C$$ по одну сторону от прямой $$a$$ , $AB \perp a$ , $CD \perp a$ , $$B$$ и $$D$$ лежат на $$a$$ , $$AB = CD$$ . Доказать: $\angle ABD = \angle CDB$ .

$$AB$$ — перпендикуляр к прямой $$a$$ , а луч $$BD$$ лежит на прямой $$a$$ . Значит, $\angle ABD = 90^\circ$ .
Так же $CD \perp a$ и луч $$DB$$ лежит на $$a$$ , поэтому $\angle CDB = 90^\circ$ .
Оба угла прямые, значит, $\angle ABD = \angle CDB$ .

Отсюда следует и больше: треугольники $$ABD$$ и $$CDB$$ равны по первому признаку ( $$AB = CD$$ , $$BD$$ — общая сторона, $\angle ABD = \angle CDB$ ). Это пригодится в пункте б.

Ответ

Утверждение доказано: оба угла прямые, ∠ABD = ∠CDB = 90°

Почему так

Перпендикуляр образует с прямой прямой угол.

Подробнее — в теме «Перпендикуляр к прямой».

Задача 2

Условие (кратко)

В той же фигуре (AB ⊥ a, CD ⊥ a, AB = CD, A и C по одну сторону от a) найти ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

Решение

Дано

$AB \perp a$
$CD \perp a$
$$AB = CD$$
$\angle ADB = 44^\circ$

Найти

$\angle ABC$

$\triangle ABD = \triangle CDB$ по первому признаку: $$AB = CD$$ , $$BD$$ — общая сторона, $\angle ABD = \angle CDB = 90^\circ$ .
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Против стороны $$AB$$ в $\triangle ABD$ лежит $\angle ADB$ , против равной ей стороны $$CD$$ в $\triangle CDB$ — $\angle CBD$ . Значит, $\angle CBD = \angle ADB = 44^\circ$ .
Точки $$A$$ и $$C$$ лежат по одну сторону от $$a$$ , поэтому луч $$BC$$ проходит внутри прямого угла $$ABD$$ , и $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$ .

Ответ

∠ABC = 46°

Почему так

Равные треугольники дают ∠CBD = ∠ADB, а ∠ABC дополняет его до прямого угла.

Подробнее — в теме «Перпендикуляр к прямой».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки