Задача 1
Условие (кратко)
Начертить остроугольный треугольник ABC и треугольник MNP с тупым углом M. Чертёжным угольником провести высоты каждого треугольника.
Решение
- Остроугольный \(\triangle ABC\). Приложите угольник катетом к стороне \(BC\) так, чтобы другой катет проходил через \(A\), и проведите перпендикуляр \(AH_1\). Так же — \(BH_2 \perp AC\) и \(CH_3 \perp AB\). Все основания лежат на самих сторонах, высоты пересекаются в одной точке внутри треугольника.
- Тупоугольный \(\triangle MNP\) с тупым углом \(M\). Высота из \(M\) падает на сторону \(NP\) — внутри треугольника. Высоты из \(N\) и \(P\) проводят к прямым, содержащим стороны \(MP\) и \(MN\): эти стороны сначала продлите за точку \(M\). Основания этих высот окажутся на продолжениях сторон, вне треугольника.
- Сами высоты тупоугольного треугольника не пересекаются, а их продолжения пересекаются в одной точке вне треугольника, за вершиной тупого угла.
Ответ
У остроугольного треугольника высоты пересекаются внутри, у тупоугольного — продолжения высот пересекаются вне треугольника
Почему так
Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону, поэтому иногда сторону нужно продлить.
Подробнее — в теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника».