Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 17

Упражнение 111 к § 17

Задача 1

Условие (кратко)

Медиану AD треугольника ABC продлили за D на отрезок DE = AD, точку E соединили с C. Доказать, что △ABD = △ECD.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AD$$ — медиана, $$D$$ лежит между $$A$$ и $$E$$ , $$DE = AD$$ . Доказать: $\triangle ABD = \triangle ECD$ .

$$AD$$ — медиана, значит, $$D$$ — середина $$BC$$ и $$BD = CD$$ .
$$AD = ED$$ по построению.
$\angle ADB = \angle EDC$ как вертикальные: точка $$D$$ лежит и на отрезке $$AE$$ , и на отрезке $$BC$$ .
Треугольники $$ABD$$ и $$ECD$$ равны по первому признаку (две стороны и угол между ними).

Ответ

Утверждение доказано: △ABD = △ECD по первому признаку

Почему так

Медиана даёт равенство BD = CD, а вертикальные углы равны — работает первый признак.

Условие (кратко)

В той же фигуре (AD — медиана △ABC, DE = AD) найти ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

Решение

Дано

Найти

Из пункта а $\triangle ABD = \triangle ECD$ , причём вершине $$B$$ соответствует вершина $$C$$ . Значит, $\angle ECD = \angle ABD = 40^\circ$ .
Луч $$CD$$ (он же луч $$CB$$ ) проходит внутри угла $$ACE$$ , поэтому $\angle ACE = \angle ACD + \angle DCE = 56^\circ + 40^\circ = 96^\circ$ .

Ответ

∠ACE = 96°

Почему так

Из равенства треугольников ∠ECD = ∠ABD, а искомый угол складывается из двух частей.